حل معادلة من الدرجة الثانية

معادلة من الدرجة الثانية

• فِيْ الصالون الأدبي حول كَيْفَِيْة حل المعادلة التربيعية، يجب أن نعرف أنه يمكن وصف المعادلة التربيعية بأنها معادلة جبرية يوجد فِيْها متغير.
• وتسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية لأنها تحتوي على S2، وأول من حاول حل المعادلة التربيعية كان البابليون، فِيْ محاولتهم إيجاد أبعاد منطقة.
• بعد ذلك جاء الخوارزمي الملقب الآن بأبي الجبر، وقام بتأليف معادلة متطابقة فِيْ الصفات مع صيغة المعادلة الثانية الحالية، فِيْ كتابه الشهِيْر “حساب الجبر والمقبلة”.
• هذه الطريقة، التي قام بتأليفها، هِيْ واحدة من أكثر الطرق اكتمالًا التي تم ابتكارها لحل المعادلة الثانية، أكثر من الطريقة البابلية.

الشكل العام للمعادلة التربيعية

الطريقة العامة لكتابة المعادلة التربيعية أو المعادلة التربيعية هِيْ

• الأس 2 + ب س + ج = صفر، حيث أ معامل x2، حيث أ ≠ صفر، وهُو ثابت عددي.
• لذلك، يمكن تعريف صيغة الأس 2 + bx + c = صفر حيث أن الأرقام الثابتة فِيْها هِيْ b و c ومن الممكن أن تكون هذه الأرقام مساوية للصفر.
• وأعلى قيمة يصل إليها الأس فِيْ المعادلة التربيعية هِيْ 2، ومعامل a لا يساوي صفرًا أبدًا.

حل معادلة من الدرجة الثانية

هناك عدة طرق مختلفة يمكن من خلالها حل المعادلة التربيعية، بما فِيْ ذلك

الطريقة الأولى لحل المعادلة التربيعية بالقانون العام

• فِيْ هذه الطريقة، يتم استخدام القانون العام، وهُو القانون الأكثر اكتمالا لحل المعادلة التربيعية، ولكنه يتطلب أن يكون تمييز المعادلة رقمًا موجبًا أو صفرًا.
• مميز المعادلة هُو القيمة التي يتم فِيْها تحديد جذور المعادلة أو عدد الحلول ويتم كتابة القانون العام بالصيغة x = (- b ± (b2 – 4a) √) / 2a.
• فِيْ القانون العام، تعَنّْي العلامة ± أن منتج المعادلة له حلين أو له جذرين، وهما كالتالي
• Q1 = (-b + (b2 – 4a) √) / 2a
• Q2 = (-b – (b2 – 4a) √) / 2a
• لكن يجب ألا ننسى أنه لا يوجد فِيْ جميع الحالات حلين للمعادلة، حيث لا يمكن أن يكون هناك سوى حل واحد، وفِيْ حالات أخرى قد لا ترغب فِيْ أي حل.
• هنا، يجب الإشارة إلَّى المميز، الذي يُشار إليه بالرمز Δ، والقانون التمييزي الذي = b2 – 4a تم اعتماده.
• بينما، إذا كانت قيمة المميز موجبة حيث Δ> صفر، فإن المعادلة لها حلين أو جذران.
• إذا كانت قيمة المميز تساوي صفرًا، أي Δ = صفر، فإن المعادلة لها حل مشترك.
• بينما إذا كانت قيمة المميز سالبة، حيث Δ <صفر، نجد أنه لا توجد حلول للمعادلة بأرقام حقيقية، بل حلين من خلال الأعداد المركبة.
• من خلال الموقع الرسمي نجد أن القانون العام هُو أكَمْل قانون لحل المعادلة التربيعية مهما كان شكلها وقيمة خصائصها.

أمثلة على حل معادلة من الدرجة الثانية بالقانون العام

المثال الأول

• x2 + 4x – 21 = صفر.
• أولاً نحدد معاملات المصطلحات أ = 1، ب = 4، ج = -21.
• ثم نعوض بالصيغة المشتركة، x = (-4 ± (16-4 * 1 * (- 21))) √) / (2 * 1). نحصل على (-4 ± (100) √) / 2، من حيث (-4 ± 10) / 2 = -2 ± 5.
• نوجد قيم x التي تمثل حلولًا للمعادلة {3، -7}.

المثال الثاني

• x2 + 2x +1 = 0.
• نحدد المعاملات أ = 1، ب = 2، ج = 1.
• والمميز = (2) ^ 2 – 4 * 1 * 1 √ = 4 – 4 √ = 0 لذا يوجد حل واحد فقط لأن قيمة المميز = 0.
• بعد تطبيق القانون العام، x = (-2 ± (0) √) / 2 * 1 = -1.
• القيمة التي تمثل حل المعادلة هِيْ x = {1-}.

المثال الثالث

• x2 + 4x = 5.
• أولاً، نكتب المعادلة بالصيغة القياسية x2 + 4x – 5 = صفر.
• ثم حدد المعاملات أ = 1، ب = 4، ج = -5.
• عَنّْد تطبيقه فِيْ القانون العام، x = (-4 ± (16- 4 * 1 * (- 5))) √) / (2 * 1).
• س = (-4 ± (16 + 20) √) / 2، حيث س = (-4 ± (36) √) / 2. س = (-4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.
• أو x = (-4-6) / 2 = -10 / 2 = -5.
• ثم قيم x التي تمثل حلولًا للمعادلة {-1، 5}.

الطريقة الثانية لحل المعادلة التربيعية

• الطريقة الثانية لحل المعادلة التربيعية هِيْ طريقة العوملة، وهذه الطريقة من أكثر الطرق استخدامًا نظرًا لسهُولة استخدامها.
• وعَنّْد الحل بهذه الطريقة، يجب أن نكتب المعادلة بصيغتها القياسية على النحو التالي ex 2 + bx + c = صفر.
• فِيْ هذه الطريقة نجد أن a = 1، ويتم فتح الأقواس على شكل المنتج التالي
• (x (± * (x) ±) وافترض رقمين مجموعهما يساوي b من حيث الإشارة والقيمة.
• حاصل ضربهم يساوي قيمة c، وهُو المصطلح الثابت من حيث القيمة والعلامة.
• بينما، إذا كانت a = 1، يتم العثور على نتيجة الضرب بضرب a * c، ويتم ترميز نتيجة هذه العملية بالرمز p.
• بعد ذلك، تم العثور على رقمين، حاصل ضربهما يساوي قيمة p، لكن حاصل ضربهما يجب أن يكون أيضًا مساويًا لـ b.

طريقة حل المعادلات التربيعية بطريقة التحليل

• 4 × 2 + 15 × + 9 = صفر.
• لحل هذه المعادلة، نحدد أولاً قيم العوامل، لذلك نجد أ = 4، ب = 15، ج = 9.
• ثم نجد حاصل ضرب a * c = 4 * 9 = 36.
• بعد ذلك، نبحث عَنّْ رقمين حاصل ضربهما 36 ومجموعهما يساوي قيمة المعامل x، والذي يساوي 12 و 3.
• ثم نجد 3 * 12 = 36 مجموعها 12 + 3 = 15، وهذا يمثل قيمة ب.
• ثم نستبدل قيمة b بالقيمتين، ثم تصبح المعادلة كَمْا يلي
• 4 س 2 + 12 س + 3 س + 9 = صفر.
• ثم نأخذ العامل المشترك الأكبر لكل مجموعة ذات حدين على النحو 4x (x + 3) + 3 (x + 3).
• نجد أن الناتج يحتوي على قوسين متشابهِيْن، لذلك نستخرج عاملًا مشتركًا من خلال الخطوة السابقة (x + 3) * (4 x + 3)، ثم نجد x = 4 / -3.
• لهذا نقول أنه فِيْ طريقة تحليل العوامل يمكننا الوثوق بالمعامل x ^ 2 باتباع الخطوات السابقة.

أمثلة على حل معادلة تربيعية بالتحليل إلَّى عوامل

المثال الأول

• س 2 – 3 س – 10 = صفر.
• نفتح قوسين ونجد رقمين حاصل ضربهما = -10، وهِيْ قيمة c، ومجموعهما يساوي -3، وهِيْ قيمة b.
• عَنّْد البحث نجد أنها الأرقام -5، 2، وبعد ذلك قمنا بتعيين كل قوس يساوي صفرًا (x – 5) * (x + 2) = 0.
• أخيرًا، نحصل على قيمة x التي تمثل حلًا للمعادلة {-2، 5}.

المثال الثاني

• ق 2 + 5 س + 6 = صفر.
• أولاً، نفتح الأقواس ونقسم المعادلة إلَّى عواملها الأولية (س + 3) * (س + 2) = 0. ثم نضع كل قوس يساوي صفرًا (س + 2) = 0، (س + 3) = 0.
• لحل المعادلتين، فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ {-3، -2}.

المثال الثالث

• 2 س 2 + 5 س = 12.
• أولاً، نكتب المعادلة بالصيغة العامة 2×2 + 5x -12 = 0.
• ثم نفتح الأقواس ونحلل المعادلة فِيْ عواملها الأولية، وهِيْ كالتالي
• (2 × -3) (س + 4) = 0.
• وضعَنّْا كل قوس يساوي صفرًا (2x – 3) = 0 أو (x + 4) = 0.d
• فِيْ النهاية نحل المعادلتين، وبالتالي فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ {3/2، -4}.

الطريقة الثالثة لحل المعادلة التربيعية

• فِيْ الطريقة الثالثة لحل المعادلة التربيعية، نستخدم الجذر التربيعي، وتعتمد هذه الطريقة على عدم وجود الحد الأوسط (ب * س).
• مثل المعادلة Q2 – 1 = 24. فِيْ هذه المعادلة، يتم نقل جميع الشروط الثابتة فِيْ المعادلة إلَّى الجانب الأيسر ثم تتم كتابة المعادلة على النحو التالي Q2 = 25.
• عَنّْدما نأخذ الجذر التربيعي لطرفِيْ المعادلة، تصبح قيمة x
• س {-5، +5} حيث يُستخدم الجذر التربيعي إذا لم يكن هناك حد وسطي.

أمثلة على حل معادلة تربيعية باستخدام طريقة الجذر التربيعي

المثال الأول

• س 2-4 = 0.
• أولاً ننقل الثابت العددي إلَّى الجانب الأيسر x2 = 4.
• ثم نعمل على أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفِيْن، وبالتالي فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ x = 2 أو x = -2.

المثال الثاني

• 2 × 2 + 3 = 131.
• أولاً، ننقل الثابت 3 إلَّى الجانب الأيسر 2×2 = 131-3، فتصبح المعادلة 2×2 = 128.
• نقسم على معامل x2 لكلا الجانبين x2 = 64.
• ثم خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفِيْن، وبالتالي فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ
• س = -8 أو س = 8.

المثال الثالث

• (س – 5) 2-100 = صفر.
• أولاً، ننقل الثابت العددي إلَّى الجانب الأيسر (x – 5) 2 = 100.
• ثم خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفِيْن (x-5) 2√ = 100√
• إذن تصبح المعادلة (x -5) = 10 أو (x -5) = -10.
• بعد حل المعادلتين الخطيتين، فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ {15، -5}.

الطريقة الرابعة هِيْ حل المعادلة التربيعية.

• فِيْ طريقة حل المعادلة التربيعية بإكَمْال المربع، نحل هذه المعادلة x2 – 10x = 21 – نتبع الخطوات التالية
• أولاً، نجد قيمة 2 (2 / ب) وبناءً على المعادلة أعلاه، 2 (2 / -10) = 25.
• عَنّْدما يضاف الرقم 25 إلَّى كلا الجانبين، يصبح x2 – 10x + 25 = 21 – + 25. هنا يصبح الجانب الأيسر مربعًا مثاليًا وتصبح المعادلة x2 – 10x + 25 = 4.
• بعد ذلك، نقوم بتحليل الجانب الأيمن باستخدام التحليل للحصول على مربع كامل أيضًا.
• (S-5) * (S-5) = 4.
• أي (x – 5) 2 = 4، ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين ولدينا ناتجان، وهما x – 5 = +2 أو x – 5 = -2.
• فِيْ النهاية، نحل معادلة حاصل الضرب، إذن لدينا قيمة x = {7، 3}.

أمثلة على كَيْفَِيْة حل معادلة تربيعية بإكَمْال المربع

المثال الأول

• x2 + 4x + 1 = صفر.
• أولاً، ننقل الثابت العددي إلَّى الجانب الأيسر x2 + 4x = -1.
• ثم أكَمْل المربع الكامل على الجانب الأيمن بإضافة نتيجة الرقم (2 / ب) 2 = (4/2) 2 = (2) 2 = 4.
• ثم أضف الناتج 4 لكلا الجانبين x2 + 4x + 4 = -1 + 4 ليصبح
• س 2 + 4 س + 4 = 3.
• نكتب الطرف الأيمن كَمْربع كامل (س + 2) 2 = 3.
• ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفِيْن، فِيْنتج معادلتين x + 2 = 3√ أو x + 2 = 3√-.
• بعد حل المعادلتين الخطيتين، نجد أن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ
• {3√ + 2-، 3√-2-}.

المثال الثاني

• 5h2 – 4h – 2 = صفر.
• أولاً، نقسم كل الحدود على 5 (معامل x2) x2 – 0.8x – 0.4 = صفر.
• ننقل الثابت العددي إلَّى الجانب الأيسر x2 – 0.8x = 0.4.
• ثم طبق القاعدة 2 (2 / ب) = 2 (0.8 / 2) = 0.42 = 0.16.
• ثم أضف 0.16 لكلا الطرفِيْن، فتبدو المعادلة كَمْا يلي
• Q2 – 0.8 س + 0.16 = 0.4 + 0.16.
• ثم نكتب الطرف الأيمن فِيْ صورة مربع 2 (x – 0.4) = 0.56.
• بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفِيْن وننتج معادلتين x – 0.4 = 0.56√ أو x -0.4 = 0.56√-.
• لحل المعادلتين الخطيتين، فإن قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ
• {-0.348، 1.148}.

المثال الثالث

• س 2 + 8 س + 2 = 22.
• ننقل الثابت إلَّى الجانب الأيسر x2 + 8x = 22-2، فتصبح المعادلة
• س 2 + 8 س = 20.
• وبتطبيق القاعدة 2 (2 / ب) = 2 (8/2) = 42 = 16.
• ثم نضيف المنتج 16 لكلا الجانبين x2 + 8x + 16 = 20 + 16.
• نكتب الطرف الأيمن كَمْربع 2 (س + 4) = 36.
• فِيْ النهاية، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين، مما ينتج عَنّْه معادلتان x + 4 = – 6، x = -10، أو x + 4 = 6، x = 2.
• قيم x التي تحقق المعادلة هِيْ {-2،10}.