ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟

تحضير

الأعداد والأرقام هي لغة الرياضيات ، لأنها تستخدم للتعبير عن الكميات ، وهي أساس الرياضيات التي تتم على أساسها العمليات الحسابية بشكل يومي ، مثل حساب الأيام أو الأشهر أو السنوات.
هناك اختلافات في شكل الأرقام ونطقها وطريقة كتابتها في كل ثقافة ولغة ، مثلما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى حسب الثقافة ، فهناك أرقام عربية وأرقام هندية. .
وتجدر الإشارة إلى الفرق بين الأرقام والأرقام ، وهو أن الأرقام هي الرمز الرياضي ، أما الأرقام فهي اسم أو صفة تصف كمية الأشياء أو ترتيبها.
ساهم دور العلماء بشكل كبير في اكتشاف الأعداد وتطورها ، وأبرزها العالم المسلم الخوارزمي الذي اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان أن يحسب بواسطته إلى ما لا نهاية.
قسّم العلماء الأرقام إلى مجموعات بناءً على خصائصها ، بما في ذلك مجموعة الأعداد المنطقية ومجموعة الأعداد غير المنطقية ومجموعة الأعداد الكاملة والطبيعية والحقيقية.

ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟

يمكننا تعريف الأعداد المنطقية على أنها الأرقام التي يمكننا كتابتها في صورة كسر أ / ب ، أي يمكن كتابتها في صورة بسط ومقام ، طالما أن المقام لا يساوي صفرًا ، لأن إذا كانت تساوي الصفر ، فإن قيمة الكسر ستكون غير معرفة.
يأتي المصطلح النسبي من النسبة ، مما يعني مقارنة رقمين موجودين في البسط والمقام ، بحيث يكون عددًا صحيحًا مقسومًا على عدد صحيح.
لذلك ، من الأسهل بالنسبة لنا تحديد مجموعة الأعداد الصحيحة مقارنة بمجموعات مختلفة من الأرقام الأخرى ، حتى لو كانت هناك إمكانية للاختلاط بين مجموعات الأرقام المختلفة.
مثل الرقم +7 ، فهو رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ، لأنه عدد صحيح ورقم موجب ، ولكنه ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد المنطقية ، نظرًا لأنه يساوي +7/1 ، فهو هو أن مقامه يساوي 1.
وبالتالي ، فإن جميع الأعداد المنطقية هي أعداد موجبة وسالبة ، وهي في الأصل صفر ، ويمكن كتابتها كلها في صورة كسر.
عندما نكتب الرقم المنطقي ، نضع علامة السالب قبل الكسر أو بجانب الرقم في البسط ، على سبيل المثال ، الرقم 4/3 هو شكله السلبي أو معكوسه الجمعي هو -4/3 و 4/3 هي طريقة خاطئة.
نظرًا لأن هذه هي الطريقة القياسية لكتابة كسر سالب ، فيمكننا كتابة الأعداد العشرية على أنها بسط ومقام أي عدد كأرقام منطقية.
على سبيل المثال ، الرقم 0.65 ، يمكننا كتابته بشكل نسبي ، أي 100/65 ، بمضاعفات مقام الرقم 10 ، وفقًا لعدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية.
من الممكن أيضًا كتابة أرقام عشرية دورية في صورة أرقام منطقية ، على سبيل المثال الرقم 0.44444 ، ويمكننا كتابتها على شكل 1/4 ، لذلك سيكون من السهل التعامل مع الأرقام.

أمثلة على الأعداد المنطقية

جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية ، لأنها تتكون من بسط يساوي عددًا ومقامًا يساوي دائمًا واحدًا ، لذا فهو غير مكتوب ، وسنشرح ذلك في هذه الأمثلة.

الرقم 2 هو رقم نسبي يمكن كتابته بالصيغة 5/1 ولا تتغير قيمته.
الرقم -15 هو رقم نسبي ، حيث يمكن كتابته في شكل البسط والمقام ، وهو -12/1 ، لكن لا يمكن كتابته كـ -12/0 ، لأن الرقم المنطقي لا يقبل المقام لـ يكون صفرا.

الكسور والأعداد الكسرية

جميع الكسور التي يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب إذا كان أ وب عدد صحيح وقيمة ب في المقام لا تساوي صفرًا تعتبر أرقامًا منطقية.
تعتبر الأعداد النسبية أيضًا تلك التي تناسب الشروط ، لأن البسط والمقام عدد صحيح ، والمقام لا يساوي صفرًا ، وهما أيضًا أرقام منطقية.

بعض الأمثلة على الكسور والأرقام المنطقية

العدد الكسري 6 / 33- هو رقم نسبي ، لأن الأعداد -33 و 6 أعداد صحيحة والمقام الذي يساوي 33 لا يساوي صفرًا.
يعتبر العدد الكسري 24/8 عددًا نسبيًا لأن كلًا من البسط والمقام عبارة عن أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي صفرًا.
لكن يجب أن نلاحظ أن بعض الكسور والأرقام المختلطة ليست أعدادًا منطقية ، على سبيل المثال الرقم 122 والصفر ، على الرغم من أن كل منهما عدد صحيح ، ولكن 0/122 ليس عددًا نسبيًا ، حيث أن المقام هو نفسه صفر ، لذا فإن قيمة الرقم غير محددة.
الكسر 3 / π ليس عددًا نسبيًا حتى لو كان المقام عددًا صحيحًا ، لكن π لا يمكن اعتباره عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

إذا كانت الكسور دورية أو محدودة ، فيمكن اعتبارها أعدادًا منطقية ، حيث يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب ، كما في الأمثلة التالية

يمكن التعبير عن الرقم 1.9 بالصيغة 1.9 / 1 ، لذلك فهو رقم نسبي ، وإذا ضربنا البسط والمقام في الرقم 10 ، فسيكون لدينا الرقم 18/10 ، وهو أيضًا عدد منطقي. ، لأن العدد 19 والعدد 10 عددان صحيحان ، والرقم 10 في المقام لا يساوي صفرًا.
الكسر العشري المكرر … 2.222 ، يمكننا كتابته في صورة عدد كسري يساوي 1/2 ، وهو رقم نسبي ، ويمكن ضرب المقام والبسط في 20 لنحصل على 10/20 ، وهو رقم نسبي ، لأن البسط والمقام عددان صحيحان ، والمقام يساوي 20 لا يساوي صفرًا.

أمثلة على الأعداد غير المنطقية

هذه الأمثلة هي من بين أفضل الأرقام غير المنطقية المعروفة.

الرقم النيبري هو e ، حيث أن الرقم النيبري هو كسر عشري ، ولكنه ليس محددًا ، وتمثل هذه الأرقام المنازل العشرية الأولى منه ، وهي 2.718281828459045235360287471352
الرقم π ، لأنه كسر عشري ، لكنه ليس منتهيًا ، وهذه هي أرقام الخانات العشرية الأولى فيه 3.14159265358979323846264333832795.
بعض الجذور التربيعية والتكعيبية ، حيث تكون بعض الكسور الناتجة عن الجذور عبارة عن كسور عشرية لا نهائية ، ومثال على ذلك الجذر التربيعي للرقم 3 ، الذي يساوي … 1.7320508075688772935274463415059.
أو الجذر التربيعي لـ 99 والذي يساوي… .9498743710661995473447982100121.
ومع ذلك ، ليست كل الجذور التربيعية والتكعيبية أرقامًا غير منطقية ، ويمكن توضيح ذلك في مثال الجذر التربيعي للرقم 16 ، والذي يساوي 4 وهو عدد نسبي.
أو عند ضرب جذرين لعددين غير نسبيين ، مثل ضرب جذر 3 في جذب 3 ، تكون النتيجة 3 ، وهو عدد نسبي.

العمليات الحسابية ذات الأعداد النسبية

الرقم المنطقي هو رقم مثل أي رقم يمكنك من خلاله إجراء عمليات حسابية مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح.

الإضافة: يمكن إضافة أعداد كبيرة ولكن بشرط واحد وهو أن المقامات متساوية فيتم إضافة البسط إلى البسط ويتم إصلاح قيمة المقام أي يتم إضافة البسط إلى البسط والإخراج في النتيجة بنفس المقام.
الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع ، حيث لا يمكن طرح العددين اللذين يتم طرحهما من بعضهما البعض إلا إذا كانت مقاماتهما متطابقة ، لذلك نطرح البسطين من بعضهما البعض ويخرجان في نفس المقام.
الضرب: نضرب بضرب البسط في البسط ، ونضرب في المقام في المقام ، ونضع حاصل ضرب البسط في بسط حاصل الضرب ، وناتج ضرب المقامات في بسط المقام.
القسمة: في عملية القسمة علينا أن نصلح الكسر الأول كما هو ، ونقوم بتدوير الكسر الثاني بحيث يصبح المقام هو البسط والبسط هو المقام ، ونحول علامة القسمة إلى عملية الضرب ، ونقوم بذلك. عملية ضرب منتظمة ، لذلك نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

خصائص الأعداد المنطقية

خصائص الأعداد المنطقية هي كما يلي:

عندما نضرب عددًا صحيحًا لا يساوي صفرًا في الرقم المنطقي ، تظل قيمة الرقم المنطقي كما هي ولا تتغير قيمتها ، نظرًا لأن هذا الضرب ليس أكثر من مضاعف لأرقام البسط والمقام في نفس التناسب: على سبيل المثال ، إذا ضربنا 2/4 في 2 ، تكون النتيجة 4/8 ، وإذا ضربنا التبسيط في أقرب صورة ، فستحصل على الإجابة 2/4.
إذا قسمنا الرقم المنطقي على عدد صحيح في الشكل والمقام بشرط أنه لا يساوي الصفر ، فلن تتغير قيمة الرقم المنطقي ولا يؤثر هذا التقسيم على النتيجة ، على سبيل المثال ، قسمة 6 على z / 30 في 3 ، فالنتيجة هي 3/16 ، وهو رقم نسبي ، لكن صورته تم تبسيطها.
إذا طرحنا أو جمعنا رقمين منطقيين ، فيجب أن تكون النتيجة عددًا نسبيًا ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
إذا ضربنا أو أضفنا أي رقمين كسريين لهما نفس المقام ، فيجب أن تكون النتيجة هي نفس المقام والبسط هو جمعهما أو طرحهما.
إذا ضربنا عددين منطقيين في حاصل الضرب ، فسيؤدي ضرب المتوسطين إلى الضرب في المقامين.
إذا قمنا بتربيع الجذر التربيعي للمنتج ، فسيكون دائمًا عددًا نسبيًا والرقم الموجب داخل الجذر.
يمكن ضرب حاصل ضرب عددين غير نسبيين ، مثل جذر ، في عدد نسبي ، مثل ضرب جذر 3 في جذر 4 ، وبالتالي تكون النتيجة 12 ، وهو عدد نسبي.
يُطلق على الرقم المنطقي الشكل القياسي للرقم المنطقي إذا كان لا يمكن اختصاره بشكل أكبر ، أي أن العامل الوحيد المتضمن بين البسط والمقام هو العدد الصحيح.
لا يمكن أن ينتج عن عملية جمع أو طرح الأعداد غير المنطقية أرقامًا منطقية إلا إذا كان الرقمان المنطقيان متساويين ، ولكن بعلامات مختلفة ، لذلك ينتج عنهما رقم منطقي ، وهو صفر ، وتسمى العلاقة بين هذين الرقمين علاقة عكسية مضافة.

الفرق بين الأعداد المنطقية والأعداد غير النسبية.

رقم منطقي: أي رقم يمكن كتابته في صورة كسر وبسط ومقام ، وكلا الرقمين في البسط والمقام صحيحان والمقام لا يساوي صفرًا ، سواء كان الرقم سالبًا أو موجبًا ، يسمى عددًا منطقيًا . ، مثل 3/4.
الرقم غير النسبي: يسمى الرقم الذي لا يمكننا كتابته ككسر عادي بسط ومقام العدد غير النسبي ، مثل الجذر التربيعي للرقم 5 ، لأنه كسر عشري لا ينتهي برقم معين ، بل بالأحرى يستمر حتى العدد لانهائي.