كيفية حساب مساحة المخروط

أنواع المخروط

1- المخروط الصحيح

• إنه المخروط الذي يتطابق رأسه تمامًا مع مركز القائمة ، أي أنه في خط مستقيم معه.
• وتتكون أيضًا من قاعدة دائرية ومركز القاعدة ومحور رأسي يربط بين مركز القاعدة ورأس المخروط.
• يشكل المحور أيضًا زاوية قائمة مع قاعدة المخروط ، وهذا هو سبب تسمية هذا النوع بالمخروط الأيمن.

2- مخروط مائل

• إنه المخروط الذي رأسه غير مستقيم مع مركز القاعدة ، أي أن رأس المخروط لا يقع بالضبط عكس رأس قاعدته.
• هذا النوع أيضًا له قاعدة دائرية ، وهو مائل بحيث لا يشكل زاوية قائمة مع قاعدة المخروط.
  • لذلك ، يطلق عليه المخروط المائل.
• تجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا استخدام قوانين حساب حجم المخروط الدائري الأيمن لحساب حجم المخروط المائل.

3- المخروط المقطوع

إنه النوع الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي الموازي للقاعدة ، مما يؤدي إلى إزالة رأس المخروط.

يتم التعبير عن هذا المخروط باستخدام الأبعاد التالية:

• الارتفاع: هو العمود المستقيم الذي يربط منتصف القاعدة العلوية (الناتجة عن قطع الجزء العلوي من المخروط) بالقاعدة السفلية.
• نصف القطر: الذي يعبر عن نصف قطر القاعدة العلوية ونصف قطر القاعدة السفلية ، وعادة ما تكون مختلفة.
• ارتفاع مائل: هو أقصر مسافة ممكنة بين حافة القاعدة السفلية وحافة القاعدة العلوية.

خصائص المخروط

• لها وجه وهو قاعدة دائرية ورأس.
• لكنها لا تحتوي على زوايا أو حواف.
• يمكن إيجاد عرض المخروط بحساب قطر القاعدة الدائرية.

المخروط له ثلاثة أبعاد:

الارتفاع ، وهو العمود العمودي بين الرأس ومركز القاعدة.

نصف قطر المخروط هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.

الارتفاع المائل هو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة الدائرية للمخروط.

كيفية حساب مساحة المخروط

• لحساب مساحة المخروط ، يجب أولاً الإشارة إلى بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بالكامل.
• الارتفاع: هو العمود الواقع بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط.
  • بحيث تشكل الزاوية القائمة مع القاعدة الدائرية.
• نصف القطر: المسافة بين المركز ومحيط القاعدة الدائرية.
• الارتفاع الجانبي أو المائل: هو المسافة بين أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية حتى الرأس المدبب.
• تُعرَّف مساحة المخروط بأنها عدد الوحدات المربعة التي تغطي المخروط من الخارج.
• عند حساب مساحة أو حجم المخروط ، تنطبق القوانين على المخروط القائم وليس المخروط المائل.
• المخروط العمودي هو المخروط ذو القاعدة الدائرية ، والخط الذي يربط أعلى المخروط ومركز القاعدة عمودي على القاعدة.
  • يمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط بإيجاد مجموع المساحة الجانبية للمخروط ومساحة القاعدة.
• مساحة القاعدة هي التي تمثل مساحة الدائرة ، وبالتالي فإن القاعدة لها شكل دائري وتساوي (π × r2) ، حيث r تعني نصف القطر.
• المساحة الجانبية تساوي (π × نصف القطر × الطول القطري أو الارتفاع الجانبي).
• يمكن حساب الارتفاع الجانبي أو الطول المائل للمخروط باستخدام الصيغة التالية.
  • الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).

مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط هي كما يلي:

• إجمالي مساحة المخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة ، وهي كالتالي:
• أيضًا ، إجمالي مساحة المخروط = π × r × l + π × r2 ، أي يساوي
• إجمالي مساحة المخروط = π × r2 + π × r × (p2 + r2) √.

وبأخذ π 𝑟 كعامل مشترك ، تصبح المعادلة:

• إجمالي مساحة المخروط = π × r × (r + (p2 + r) √
• بينما:
• π: ثابت عددي وقيمته العددية 22/7 ، 3.14.
• R: نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
• أ هو ارتفاع المخروط.
• l: الطول المائل أو الارتفاع الجانبي للمخروط.

قد يثير اهتمامك:

صيغة حساب مساحة المخروط المحبط

الارتفاع الجانبي (L): يساوي: L² = P² + (Nq1 – NQ2) ² ، ومنه: L = (NQ1 + (Nq1 – NQ2) ²) √.

المنطقة الجانبية من فجوة المخروط = π × (r1 + r2) × l.

• مساحة المخروط = π × (l × (r1 + r2) + (r1) ² + (r2) ²).
• حجم مخروط المخروط = (1/3) x π xrx (((r1) ² + (r2) ² + (r1 x r2)) ؛ حيث:
  • R1: نصف قطر القاعدة السفلية.
  • R2: نصف قطر القاعدة العلوية.
• L: الارتفاع المائل أو الجانبي للجذع.
• π: ثابت pi ، وهو ثابت عددي بقيمة 3.14 أو 22/7.
  • ج: ارتفاع المخروط المحبط.

أمثلة لحساب مساحة المخروط.

المثال الأول

• ما مساحة مخروط ارتفاعه ٨ وحدات ونصف قطره ٦ وحدات؟
• الحل: مساحة المخروط = π × r × (r + (p² + r²) √ ، ويمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = ((8² + 6²) √ + 6) × π × 6 .
• إذن: مساحة المخروط = π × 96 سم².

المثال الثاني

المخروط البيضاوي يبلغ قطر قاعدته العلوية 2 سم وقطر قاعدته السفلي 6 سم وارتفاعه 10 سم ، ما هي قيم مساحته الجانبية ومساحته الإجمالية وحجمه؟

• الحل: لإيجاد كل من المساحة الجانبية والمساحة الكلية ، يجب أولاً إيجاد الارتفاع الجانبي (l).
• هذا كالتالي: حساب الارتفاع الجانبي ، مثل هذا: L = (p² + (rq1-rq2)) ²√ = 10² + (6-2) ²√ = 10.77 سم.
• المنطقة الجانبية من فجوة المخروط = π × (r1 + r2) × l.
  • وبالتالي: المساحة الجانبية للمخروط المقطوع = 3.14 × (6 + 2) × 10.77 = 270.69 سم².
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + × (r1) ² + × (r2) ².
  • لذلك: المساحة الإجمالية = 270.69 + (3.14 × 6² + 3.14 × 2²) = 396.35 سم².
• حجم المخروط = (1/3) × π × r × ((r1) ² + (r2) ² + (r1 × r2)).
  • لذلك: حجم المخروط = (1/3) × 3.14 × 10 × (6² + 2² + (6 × 2)) = 544 سم مكعب.

أيضا المثال الثالث.

• ما المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 أمتار وارتفاعه الجانبي 10 أمتار؟
• الحل: مساحة المخروط = π × r² + π × r × l.
• يمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = 3.14 × 6² + 3.14 × 6 × 10 = 301.44 م².

المثال الرابع

• المخروط الدائري قطر قاعدته 3√4 ، والزاوية بين الارتفاع وارتفاع الضلع 30 درجة ، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟
  • الحل: المساحة الكلية للمخروط = π × r × (r + l) ولحسابها نحتاج إلى قيم: نصف القطر والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما على النحو التالي:
• احسب نصف القطر بقسمة القطر على 2 ؛ نصف القطر = القطر / 2 = 3√4 / 2 أي ما يعادل 3√2 سم.
• حساب الارتفاع الجانبي ، وهو وتر المثلث القائم الزاوية الذي يشكل نصف قطره إحدى رجليه.
• وارتفاع الساق الأخرى ، والارتفاع الجانبي للوتر ، وتطبيق قانون الجيب: الجيب (x) = المقابل / الوتر.
  • اتضح أن: sin (30) = 3√2 / L ، من حيث L = 3√4 سم.
• استبدال القيم السابقة في القانون بمساحة المخروط الكلي ، لإعطاء نتيجة: المساحة الإجمالية للمخروط = π × r × (r + l) = 3.14 × 3√2 × (3 2 + 3√4) = 113.04 سم².

أخيرًا ، المثال الخامس.

• إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856 سم 3 وقطر قاعدته (قواعده) 28 سم ، فما ارتفاعه (ع) وارتفاعه الجانبي (ل) ومساحته الجانبية؟
  • الحل: حجم المخروط = (1/3) x π x r² xp ، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع.
  • وهكذا: بما أن القطر = 28 سم ، فإن نصف القطر (ص) = القطر / 2 = 14 سم.
• التعويض في قانون الحجم ، إذن: 9856 = (1/3) × 22/7 × ² 14 × ارتفاع ، بما في ذلك: الارتفاع = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14).
• بما في ذلك: الارتفاع = 48 سم. الارتفاع الجانبي = (r² + h²) √ ، ثم: L = 14² + 48²√ = 50 سم. المساحة الجانبية = π × شعاعي × ل.
  • لذلك: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².

المثال السادس

• ورقة على شكل نصف دائرة قطرها 6.28 سم إذا علمت أنها تحولت إلى مخروط رأسي.
  • احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟
• الحل: المنطقة الجانبية للمخروط الأيمن = مساحة القطاع الدائري. المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = (180 ÷ 360 °) x x r².
• المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 1/2 × π × r².
• أيضا ، المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / πr².
• بما أن ‘nr = Diameter ÷ 2، لذلك r = 3.14، وعوض بنصف القطر في الصيغة.
  • اتضح أن: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / (π × 3.14 × 3.14). المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = π9298 سم² (الإجابة بدلالة π).
• المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298 × 3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796 سم².