معنى الجبر في الرياضيات

الجبر

الجبر هو أحد الأجزاء العامة للرياضيات ، إلى جانب نظرية الأعداد ، والهندسة ، والتحليل ، والجبر ، في أكثر صورها عمومية.

إنها دراسة الرموز الرياضية وقواعد التلاعب بهذه الرموز. إنه خيط مشترك لجميع الرياضيات تقريبًا. ببساطة ، الجبر يتعلق بإيجاد المجهول أو وضع متغيرات الحياة الواقعية في المعادلات ثم حلها.

لسوء الحظ ، تقفز العديد من الكتب المدرسية مباشرة إلى القواعد والإجراءات والصيغ ، متناسين أن هذه مشاكل واقعية يتم حلها.

يجب أيضًا أن يتجاوز شرح الجبر في جوهره: استخدام الرموز لتمثيل المتغيرات والعوامل المفقودة في المعادلات ، ومعالجتها بطريقة للوصول إلى حل.

الجزء الأساسي من الجبر يسمى الجبر الأولي ، والجزء الأكثر تجريدًا يسمى الجبر المجرد أو الجبر الحديث.

من المعتقد عمومًا أن الجبر الأساسي ضروري لأي تطبيق للرياضيات أو العلوم أو الهندسة أو الطب أو الاقتصاد.

على الرغم من أن الجبر المجرد هو مجال مهم في الرياضيات المتقدمة ، إلا أنه تتم دراسته بشكل أساسي من قبل علماء الرياضيات المحترفين.

يختلف الجبر الابتدائي عن الحساب في أنه يستخدم التجريدات ، مثل استخدام الحروف ، للإشارة إلى الأرقام غير المعروفة أو التي قد تحتوي على العديد من القيم.

على سبيل المثال ، في x + 2 = 5 ، الحرف x غير معروف.

لكن تطبيق انعكاسات إضافية يمكن أن يكشف عن قيمتها: x = 3 ، في E = mc2 ، فإن الحرفين E و m متغيرين.

والحرف c ثابت ، وهو سرعة الضوء في الفراغ. يعطي الجبر طرقًا لكتابة الصيغ وحل المعادلات التي تكون أوضح وأسهل من الطريقة القديمة لكتابة كل شيء بالكلمات.

تُستخدم كلمة الجبر أيضًا في بعض الأشكال المتخصصة ، ويسمى نوع خاص من الأشياء الرياضية بالجبر المجرد.

يتم استخدام الكلمة ، على سبيل المثال ، في التعبيرات من الجبر الخطي والطوبولوجيا الجبرية.

يُطلق على عالم الرياضيات الذي يقوم بأبحاث في الجبر اسم عالم الجبر.

فروع الرياضيات القديمة وظهور علم الجبر

قبل القرن السادس عشر ، تم تقسيم الرياضيات إلى مجالين فرعيين فقط ، الحساب والهندسة.

على الرغم من أن بعض الطرق ، التي تم تطويرها في وقت سابق ، يمكن اعتبارها اليوم بمثابة الجبر ، وظهور الجبر.

وبعد فترة وجيزة ، أصبح حساب التفاضل والتكامل متناهى الصغر كمجال فرعي للرياضيات ، يرجع تاريخه إلى القرنين السادس عشر والسابع عشر فقط.

منذ النصف الثاني من القرن التاسع عشر فصاعدًا ، ظهرت العديد من مجالات الرياضيات الجديدة.

استفاد معظمها من الحساب والهندسة ، وتقريباً جميعها تستخدم الجبر.اليوم ، تطور الجبر ليشمل العديد من فروع الرياضيات.

يمكن رؤيته أيضًا في تصنيف مواضيع الرياضيات ، حيث لا يُطلق على أي من مناطق المستوى الأول (إدخالات مكونة من رقمين) اسم الجبر.

الجبر كفرع من الرياضيات.

بدأ الجبر بحساب مشابه للحساب العادي ، بحروف تمثل الأرقام ، وهذا سمح ببراهين على خصائص الأعداد الصحيحة بغض النظر عن الأرقام المعنية.

على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0

يمكن أن يكون a ، b ، c أي رقم (باستثناء أنه لا يمكن أن يكون a 0) ، ويمكن استخدام الصيغة التربيعية للعثور بسرعة وسهولة على قيم الكمية غير المعروفة x ، والتي تفي بالمعادلة.

وهذا يعني إيجاد جميع الحلول للمعادلة ، تاريخيًا وفي التعليم الحالي ، تبدأ دراسة الجبر بحل المعادلات مثل المعادلة التربيعية أعلاه.

ثم أسئلة أكثر عمومية ، مثل “هل للمعادلة حل؟” “كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة؟” “ماذا يمكن أن يقال عن طبيعة الحلول؟” فهي تعتبر.

أدت هذه الأسئلة إلى توسيع الجبر ليشمل كائنات غير رقمية ، مثل التباديل والمتجهات والمصفوفات ومتعددة الحدود.

ثم تم تلخيص الخصائص التركيبية لهذه الكائنات غير العددية في تراكيب جبرية مثل المجموعات والحلقات والحقول.

مجالات الرياضيات الجبرية

بعض مجالات الرياضيات التي تندرج تحت فئة الجبر المجرد تحتوي على كلمة الجبر في أسمائها ، والجبر الخطي هو مثال.

بعضها ليس كذلك: نظرية المجموعة ، ونظرية الحلقة ، ونظرية المجال هي أمثلة ، وفي هذا القسم نسرد بعض مجالات الرياضيات مع كلمة “الجبر” في أسمائها.

• الجبر الابتدائي ، جزء من الجبر يتم تدريسه عادة في دورات الرياضيات الابتدائية.
• أيضًا الجبر المجرد ، حيث يتم تحديد الهياكل الجبرية مثل المجموعات والحلقات والحقول بشكل حدسي والتحقيق فيها.
• وكذلك الجبر الخطي حيث يتم دراسة الخصائص المحددة للمعادلات الخطية والمسافات المتجهة والمصفوفات.
• الجبر التبادلي ، دراسة الحلقات التبادلية.
• الجبر الحاسوبي ، وتنفيذ الأساليب الجبرية ، والخوارزميات ، وبرامج الحاسوب.
• أيضا الجبر المتماثل ، دراسة الهياكل الجبرية الأساسية لدراسة الفراغات الطوبولوجية.
• الجبر المتكامل ، حيث يتم دراسة الخصائص المشتركة لجميع الهياكل الجبرية.
• نظرية الأعداد الجبرية ، حيث يتم دراسة خصائص الأعداد من وجهة نظر جبرية.
• تحدد الهندسة الجبرية ، فرع من فروع الهندسة ، في شكلها البدائي المنحنيات والأسطح كحلول للمعادلات متعددة الحدود.
• المجموعات الجبرية ، حيث تستخدم الطرق الجبرية لدراسة الأسئلة التوافقية.
• أيضًا الجبر العلائقي ، وهو عبارة عن مجموعة من العلاقات المالية المغلقة تحت عوامل معينة.

الجبر الابتدائي

الجبر الابتدائي هو أبسط أشكال الجبر. يتم تعليم هؤلاء الطلاب الجبر الابتدائي ، والذي يُفترض أنه ليس لديه معرفة بالرياضيات بخلاف أساسيات الحساب.

في الحساب ، تحدث الأرقام وعملياتها الحسابية فقط (على سبيل المثال ، + ، – ، x ، ÷).

• يسمح بالصياغة العامة للقوانين الحسابية (مثل أ + ب = ب + أ لجميع أ و ب) وبالتالي فهي الخطوة الأولى في استكشاف منهجي لخصائص نظام الأعداد الحقيقية.
• كما يسمح لك بتدوين الأرقام “غير المعروفة” وصياغة المعادلات ودراسة كيفية حلها ، على سبيل المثال.
  • “ابحث عن الرقم x مثل: 3x + 1 = 10” أو اذهب أبعد قليلاً “Find x بحيث أن a + b = c”.
• تؤدي هذه الخطوة أيضًا إلى استنتاج مفاده أنه ليس طبيعة الأرقام المحددة هي التي تسمح لنا بحلها ، بل العمليات المعنية.
• كما يسمح أيضًا بصياغة العلاقات الوظيفية ، على سبيل المثال ، “إذا كنت تبيع x تذاكر ، فسيكون ربحك 3x – 10 دولارات أمريكية ، و od (x) = 3x -10 ، حيث d هي الوظيفة و x هو الرقم الذي تنطبق الوظيفة “.

الجبر المجرد

يمتد الجبر المجرد إلى المفاهيم المألوفة الموجودة في الجبر الأولي وحساب الأرقام إلى مفاهيم أكثر عمومية.

فيما يلي المفاهيم الأساسية المضمنة في الجبر المجري:

• مجموعات
• العمليات الثنائية.
• عناصر الهوية.
• العناصر المقلوبة.
• من الارتباط.
• تبادل.

نختار لك: