نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة

ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة

بعد تطوير الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية في القرن السابع عشر من قبل بيير دي فيرمات ورينيه ديكارت ، بعد الاختراع المعروف (تحديث الجبر والتدوين الجبري) من قبل فرانسوا فيت وتوفير الإطار الأساسي لحساب التفاضل والتكامل بواسطة إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز.

• تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات ، حيث وصلت الهندسة إلى درجة أعلى من النضج في وقت سابق.
• تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج الرائعة في كتابه الكلاسيكي The Elements ؛ كان الجبر مجموعة أقل تنظيماً من الأفكار ، حيث يعتمد على المصادر البابلية والمصرية واليونانية والهندوسية ، ويتعامل مع مشاكل تتراوح من التجارة إلى الهندسة.
• حتى عصر النهضة ، كان من الممكن استخدام الهندسة لتبرير الحلول للمسائل الجبرية ، ولكن لم يكن يُعتقد على نطاق واسع أن الجبر يلقي الضوء على الهندسة.
• سيتغير هذا الموقف مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية التي من شأنها أن تسمح بذلك.

التدوين ومفهوم العمل

لتوضيح كل من أهمية التدوين ومفهوم الوظيفة ، يمكننا النظر في إحدى المشكلات الكلاسيكية في الجبر ، وهي حل معادلة من الدرجة الثانية. في التدوين الحديث ، يمكن كتابة هذه المعادلة:

• المحور 2 + Bx + C = 0.
• من المفهوم هنا أن A و B و C تمثل أرقامًا ، و x تمثل المجهول المطلوب العثور عليه والحرف الصغير 2 الذي يظهر في المصطلح الأول يعني أن المجهول x يجب تربيعه أو ضربه بنفسه.
• على الرغم من أن حلول بعض أشكال هذه المعادلة كانت معروفة للبابليين القدماء ، إلا أن التدوين لم يتم تطويره بالكامل حتى عمل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت ، الذي وحد استخدام الحروف لتمثيل الكميات الثابتة والمتغيرة.
• بالنظر إلى هذا الترميز ، من السهل التفكير في أن المعادلة لها الشكل: f (x) = 0.
• حيث تكون الوظيفة: f (x) = Ax2 + Bx + C.
• ثم يمكنك التفكير في متغير ثانٍ ، على سبيل المثال y ، يتم تحديده بواسطة الوظيفة: y = f (x) = Ax2 + Bx + C.
• إذن ، لدينا علاقة بين المتغيرين x و y يمكن دراستها بمفردها.

الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية.

الجزء الأول من صعود الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة هو الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية ، وهي أن العلاقة بين متغيرين ، كأن يكون أحدهما دالة للآخر ، يحدد منحنى.

• يبدو أن هذه الفكرة قد تم تطويرها لأول مرة من قبل المحامي وعالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات.
• كما هو الحال في كتابه مقدمة في المستوى والحالة الصلبة الذي كتب عام 1629 م
• عمم بين أصدقائه وقدم فكرة أن أي معادلة تربط بين مجهولين تحدد موقعًا أو منحنىًا.
• سمح فيرما للمتغير بتمثيل مسافة على طول خط مستقيم من نقطة مرجعية ؛ ثم يشير المتغير الثاني إلى المسافة من الخط ؛ واصل فيرما اشتقاق معادلات لعدد من المنحنيات البسيطة ، بما في ذلك الخط المستقيم والقطع الناقص والقطع الزائد والدائرة.
• نظرًا لأن فيرمات لم يفكر في المسافات السالبة ، لم يستطع إظهار منحنيات مثالية ، لكن علماء الرياضيات الآخرين سيتغلبون على هذه المشكلة قريبًا.

الطريقة الجبرية للهندسة التي اكتشفها رينيه ديكارت

اكتشف الفيلسوف الفرنسي رينيه أيضًا نهجًا جبريًا للهندسة ، والذي يبدو أنه كان مستقلاً إلى حد كبير. كان ديكارت أحد الشخصيات الفكرية المهيمنة في القرن السابع عشر ، اشتهر بالفيلسوف ، ومؤلف العديد من النظريات الفيزيائية المهمة ، ومساهمًا رئيسيًا في الرياضيات.

• يظهر عمل ديكارت في الهندسة كواحد من ثلاثة ملاحق له الشهير الخطاب حول الفعل الصحيح للعقل وتحقيق الحقيقة في العلوم ؛ المكملان الآخران موجودان في علم البصريات والأرصاد الجوية.
• كما يوحي العنوان ، رأى ديكارت الرياضيات في المقام الأول كطريقة لتحديد المعرفة في العلوم.
• في ملحقه حول الهندسة ، بدأ ديكارت بالإشارة إلى أن التركيبات الهندسية ذات البوصلات والقوائم المستقيمة تتضمن الجمع والطرح والضرب والقسمة والجذور التربيعية.
• اقترح تعيين حرف لتمثيل طول كل من الخطوط التي تظهر في البناء ، ثم كتابة المعادلات المتعلقة بأطوال الخطوط ، والحصول على العديد من المعادلات حيث توجد خطوط غير معروفة ؛ يصبح إيجاد الأطوال المجهولة مسألة حل مجموعة المعادلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.
• بعد إثبات قابلية تطبيق الجبر لحل المشكلات الهندسية التقليدية ، يناقش ديكارت حل المشكلات التي لها منحنيات كحلول ؛ في هذا النوع من المسائل ، لا توجد معادلات كافية لتحديد جميع المجهول وينتهي أحدها بعلاقة بين مجهولين.
• عند هذه النقطة ، اقترح ديكارت استخدام المسافة من نقطة ثابتة على خط ما لتمثيل x ، والمسافة من x على خط مرسوم في اتجاه ثابت لتمثيل y.
• إذا تم اختيار الاتجاه المثبت في الزوايا القائمة في السطر الأول ، فسنحصل على نظام الإحداثيات المستطيل أو الديكارتي الحديث ، المسمى ديكارت.
• اقترح ديكارت بعد ذلك أن أي معادلة تتضمن قوى x و y تصف منحنى هندسيًا مقبولاً.
• أظهر أن تلك المنحنيات الخاصة المعروفة بالمقاطع المخروطية (الدائرة ، القطع الناقص ، القطع الزائد ، والقطع المكافئ) كلها موصوفة بمعادلات جبرية ذات أعلى قوة لـ x و y تساوي اثنين.

الخلاف بين فيرما وديكارت في الهندسة التحليلية المتعلقة بالفيزياء وعلم الفلك

اكتسبت دراسة هذه المنحنيات (المقاطع المخروطية) أهمية نتيجة لاكتشافات الفيزياء وعلم الفلك.

خاصة اكتشاف العالم الألماني يوهانس كبلر أن الكواكب لا تتحرك في دوائر كاملة أو مجموعات من الدوائر الكاملة.

ولكن في شكل قطع ناقص.

• علاوة على ذلك ، أوضح كبلر أن الكواكب لا تتحرك بسرعة ثابتة ولكن بسرعة تختلف باختلاف المسافة بينها وبين الشمس.
• توفر الهندسة التحليلية وصفًا مفيدًا لشكل هذه المدارات. وسيتبع بعد قليل شرح للحركة الفعلية.
• عندها اقترح إسحاق نيوتن قوانينه للحركة والجاذبية الشاملة وطور تقنيات حسابية لتطبيقها.
• يتم التعبير بسهولة عن المشكلتين الأساسيتين في حساب التفاضل والتكامل من حيث الهندسة التحليلية:
  • الأول هو إيجاد خط المماس للمنحنى الموصوف بواسطة y = f (x) عند أي نقطة.
  • والثاني هو إيجاد المنطقة الواقعة بين جزء من المنحنى والخط y = 0 ؛ حل هذه المشاكل يؤدي مباشرة إلى الحل.
• من الاثنين الآخرين: أوجد قيم x التي من أجلها y = f (x).
  • هي الحد الأدنى أو الأقصى ، وإيجاد طول مقطع من المنحنى.
• حل فيرما مشكلة الظل والمشكلة المصاحبة لإيجاد الحدود القصوى والصغرى عام 1629 م
• عندما ظهرت هندسة ديكارت في عام 1637 ، انتقدها فيرمات لعدم تضمينها مناقشة الظلال أو الحدود القصوى والدنيا.
  • أجاب ديكارت بأن هذه النتائج يمكن الحصول عليها بسهولة من قبل أي شخص يفهم عمله.
  • وأن عمل فيرما أظهر فهماً للهندسة أقل من فهماً له.
• انتهى الجدل حول أهمية وأسبقية مساهمات فيرما وديكارت في النهاية ، مع اعتراف كل رجل بمساهمات الآخر.

الخلاف بين نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز في الهندسة التحليلية المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل

سيحقق نيوتن والعالم الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز التطوير الكامل لحساب التفاضل والتكامل ، والعمل بشكل مستقل عن بعضهما البعض:

• كما في حالة فيرما وديكارت ، نشأ نزاع حول الأولوية ، ولكن في هذه الحالة نزاع أكثر مرارة وطويل الأمد.
• في عام 1696 ، نشر عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي مشكلة حساب التفاضل والتكامل كتحدي لعلماء الرياضيات الآخرين.
• تكمن المشكلة ، المعروفة باسم أقصر وقت ، في العثور على المنحنى الذي تنتقل خلاله حبة منزلقة من نقطة إلى أخرى في أقل قدر من الوقت مع الجاذبية باعتبارها القوة الخارجية الوحيدة.
• الإجابة هي نسخة مقلوبة من سيكلويد ، وهو المنحنى الناتج عن نقطة على محيط عجلة تدور على سطح مستو.
• بحلول عام 1697 ، تمكن برنولي من نشر حله الخاص جنبًا إلى جنب مع الحلول التي حصل عليها من أربعة علماء رياضيات آخرين ، بما في ذلك نيوتن وليبنيز.
• تم تقديم حل نيوتن دون الكشف عن هويته ، لكن هذا لم يخدع برنولي ، الذي قال: “أعرف أسدًا من مخلبه”.

الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة

الجزء الثاني من ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة هو علاقة هذا العلم بفروع الرياضيات الأخرى ، وهي على النحو التالي:

• تمثل الهندسة التحليلية إضافة إلى تقليد مهم في الرياضيات ، تقاليد الهندسة مثل دراسة الشكل أو التكوين.
  • وتلك الخاصة بالحساب والجبر التي تتعامل مع الكمية أو العدد.
• كان هذا المزيج ضروريًا إذا أريد للعلوم الفيزيائية أن تتقدم إلى ما وراء المفاهيم الأرسطية للحركات الكاملة والناقصة نحو فلسفة طبيعية للملاحظة والتجريب.
• ليس من المستغرب إذن أن يهتم كل من فيرما وديكارت بالأسئلة العلمية في عصرهم.
  • خاصة عندما يتعلق الأمر بالبصريات.
  • وديكارت بشكل عام بجميع مجالات الفيزياء وعلم الفلك.
• أصبحت تقنيات التفاضل والتكامل ، المستندة إلى رؤى من الهندسة التحليلية ، الرياضيات الأساسية للعلوم الفيزيائية والهندسة.
• مع إضافة المعادلات التفاضلية ، والتي تمثل تطورًا إضافيًا للأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ، أثبت الإطار الرياضي قوته بما يكفي لدمج الحقول الجديدة للفيزياء الحرارية والكهرومغناطيسية في القرن التاسع عشر ونظرية الكم.
• لذلك ، تشتمل المناهج الجامعية الحديثة للعلماء والمهندسين المستقبليين دائمًا على عدة فصول دراسية مخصصة للهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل.