مثلث قائم
- المثلث القائم الزاوية هو أحد أنواع المثلثات التي توجد فيها زاوية قائمة قياسها 90 درجة ، ويعرف أطول ضلع في المثلث بالوتر ، وهو الضلع الذي يقع في الجانب المقابل للزاوية القائمة ، والجانبان الآخران للمثلث معروفان بأرجل المثلث.
صيغة حساب وتر المثلث القائم الزاوية.
- تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي: “في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الضلعين المجاورين للزاوية القائمة”.
- مما سبق نستنتج أن مربع طول الوتر في المستطيل يساوي مربع أطوال الضلعين في الزاوية اليمنى. ولتسهيل حساب المعادلة ، يمكن تسمية الأضلاع بالحروف أ ، من خلال ج.
مثال توضيحي
- في المثلث أ ، ب ، ج هي الزاوية القائمة عند ج
من هذا يتضح لنا أن الوتر في المثلث هو ab ، وبالتالي يمكننا تسمية كل ضلع من أضلاع المثلث بحرف على النحو التالي:
- أب = ج ، ج = ب ، ب ج = أ.
- أي ، bc 2 + a 2 = ab 2 ، أو يمكن أن يُقال أيضًا على النحو التالي: أ 2 + ب 2 = ج 2.
- تفيد نظرية فيثاغورس في تحديد طول أحد أضلاع المثلث القائم عند معرفة أطوال ضلعي المثلث الآخرين.
- على سبيل المثال: إذا كان أ = 4 ، ب = 3.
- من هذا نستنتج أن A2 + B2 = 32 + 42 = 25 = C2.
- مما سبق ، نستنتج أن ج = 5.
مثال توضيحي آخر
- في المثلث القائم طول القاعدة 4 سم وطول الارتفاع 3 سم ما هو طول وتر المثلث؟
الحل:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- مربع الوتر = 16 + 9 = 25 سم.
- بعد أخذ الجذر التربيعي ، نستنتج أن مربع الوتر = 5 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث يبلغ طول ضلعه الأول 5 سم ، وطول ضلعه الثاني 3 سم ، وطول الوتر 7 سم ، فيجب إثبات أن المثلث صحيح.
الحل:
سوف نتبع نظرية فيثاغورس في الحل على النحو التالي:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- ومربع الوتر = 49
- مربع الضلع الأول = 25
- مربع الضلع الثاني = 9
- بالتعويض ، نحصل على المعادلة التالية: 49 = 25 + 9 ، لذا 49 = 34.
- بعد التعويض في القانون ، أصبح من الواضح لنا أن مربع أطوال ضلعي المثلث لا يساوي مربع الوتر ، ومن هذا نستنتج أن المثلث ليس مثلثًا قائمًا.
نظرية العكس في نظرية فيثاغورس
ينص عكس نظرية فيثاغورس على ما يلي:
- (في المثلث ، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين ، فإن المثلث قائم ، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع ، و أطول ضلع هو الوتر.)
تعرف على طريقة قانون جيب التمام لحساب طول الوتر في المثلث
- يشير مصطلح جيب التمام أو الظل إلى نسب مختلفة بين زوايا المثلث القائم أو بين ضلعه ، ويمكن تعريف جيب الزاوية في المثلث القائم على أنه طول الضلع المقابل للزاوية بعد القسمة على الوتر.
- تحتوي الآلة الحاسبة على زر مخصص لاستخدام الجيب ، وهو الزر الذي يحمل علامة الخطيئة ، ويمكن استخدامه بالضغط عليه ثم إدخال قياس الزاوية المطلوب لإيجاد جيبه بالدرجات.
- من الضروري معرفة قانون الجيب لتسهيل حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية ، حيث أن القانون ينص على ما يلي: (في أي مثلث به جوانب أ ، ب ، وزوايا أ ، ب ، ج ، ثم أ / الخطيئة أ = ب / الجيب ب = ج / ي إلى ج).
- يجب استخدام الأحرف a و b و c لتعيين جوانب المثلث ، ومن الضروري إعطاء الحرف c إلى أطول ضلع في المثلث ، وهو الوتر ، والحرف a إلى الجانب التي نعرف طولها ، وعلى الجانب الآخر نسميها الحرف ب ، لتبسيط عملية الحساب.
- يجب أيضًا تطبيق الأحرف على زوايا المثلث ، طالما تم تطبيق الحرف C على الزاوية المقابلة للوتر ، وهي الزاوية القائمة ، والحرف A يطبق على الزاوية المقابلة للضلع A ، والحرف B هو استدعاء الزاوية المقابلة للضلع B.
احسب وتر المثلث القائم الزاوية باستخدام النسب المثلثية
تعد النسب المثلثية مفيدة في إيجاد أضلاع المثلث القائم عندما يكون قياس أي زاوية غير قائمة في المثلث معروفًا وطول أحد أضلاع المثلث معروفًا. فيما يلي شرح لكيفية استخدامها:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- cos = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- tan = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.
العناصر التي قد تعجبك:
المتوسط الحسابي في الإحصاء.
المساحة الجانبية للمنشور المستطيل.
تحويل من مليمتر إلى متر
مثال توضيحي لكيفية الاستخدام
- إذا كان ABC مثلثًا قائمًا عند B ، وطول الضلع BC يساوي 7 سم ، ودرجة الزاوية C = 53 ° ، فأوجد قياس الوتر AG والضلع AB.
الحل:
- يمكن إيجاد طول الضلع AB باستخدام المماس ، والضلع AB المقابل للزاوية C.
- من هذا نستنتج أن: za c = ab / bc = za 53 = ab / 7.
- AB = 7 × 1.33 = 9.29 سم.
- Ctg = الضلع المجاور للزاوية C / الوتر.
- cos 53 = قبل الميلاد.
- وتر المثلث = 7 / وتر المثلث.
- وتر المثلث = 0.6 / 7 = 11.7 سم.
مثال توضيحي آخر
- في مثلث قائم الزاوية ، إحدى زواياه قياسها 67 درجة ، وطول ضلعها المقابل 24 سم ، أوجد طول الوتر.
الحل:
هنا ، يمكن استخدام طريقة جيب التمام لحساب طول الوتر على النحو التالي:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- Ga 67 = 24 / وتر.
- وتر المثلث = 26.1 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كانت زاوية المثلث القائم الزاوية 5 ° والوتر 6 cm ، فما طول الضلع المقابل للزاوية 50 °؟
الحل:
نظرًا لأن لدينا طول الوتر ، والمطلوب هنا هو فقط حساب طول الضلع المقابل للزاوية ، فيمكن استخدام طريقة جيب التمام ، مع الخطوات التالية:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- sin 50 = الضلع المقابل للزاوية / 6.
- الضلع المقابل للزاوية 50 = 4.6 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان المثلث القائم الزاوية له وتر طوله 10 سم وضلعه 8 سم ، فما طول الضلع الآخر؟
الحل:
في هذه المعادلة ، سنتبع نظرية فيثاغورس لحساب طول ضلع المثلث بالخطوات التالية:
- بالتعويض بالصيغة a2 + b2 = c2 ، نحصل على 82 + b2 = 102.
- إذن ، b2 = 36 ، وبأخذ الجذر التربيعي ، نستنتج أن b = 6 cm.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان المثلث القائم الزاوية به ضلع 9 سم ووتر طوله 15 سم ، فما طول الضلع الآخر من المثلث؟
الحل:
- تطبيق نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع الوتر = مربع طول أضلاع المثلث.
للتعويض في القانون نستنتج ما يلي:
- 152 = 92 + طول الضلع الثاني 2.
- نطرح 81 من كلا الطرفين ، لنحصل على طول الضلع الثاني 2 = 144.
- بعد حساب الجذر التربيعي ، نجد أن طول الضلع الثاني = 12 cm.