خصائص المثلث متساوي الساقين

خصائص مثلث متساوي الساقين

يتميز المثلث متساوي الساقين بضلعين متساويين وزاويتين متساويتين ، ولكن هناك حالة خاصة حيث تكون زواياه 90-45-45 ، لذلك يطلق عليه مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية ، وسنعرض خصائص متساوي الأضلاع المثلث من خلال النقاط التالية.

• اثنان من ضلعه لهما نفس الطول ويطلق عليهما أرجل المثلث.
• يسمى الضلع الثالث من مثلث متساوي الساقين قاعدة المثلث
• زوايا القاعدة هي نفسها دائمًا.
• زوايا القاعدة أقل من 90 درجة ، أي زاوية حادة.
• تسمى الزاوية المقابلة للقاعدة بزاوية القمة.
• عند جمع الزوايا ، تكون النتيجة 180 ، مما يعني أنه يمكننا معرفة زاوية رأس المثلث إذا عرفنا إحدى الزاويتين الأخريين.
• ارتفاع المثلث هو الخط الذي يربط الرأس ونصف القاعدة.
• الخط الذي يربط رأس المثلث والجانب المقابل ، القاعدة ، يشطره ويقسم زاوية رأس المثلث ، وفي العمود الأوسط يسمى “العمود الأوسط”.

أدلة على خصائص مثلث متساوي الساقين

كجزء من عرض خصائص مثلث متساوي الساقين ، تجدر الإشارة إلى أنه يجب الإشارة إلى بعض البراهين لتسهيل وتأكيد هذه الخصائص ، ومن بين هذه البراهين نذكرها على النحو التالي:

1- الخاصية الأولى: الزوايا الأساسية هي نفسها دائمًا.

افترض أن المثلث (ABC) هو مثلث متساوي الساقين فيه: AB = AG والزاوية (A) هي رأس المثلث ، أما الزاويتان الأساسيتان: الزاوية (ABC) والزاوية (ABC) ، فلنثبت ذلك الزاويتان الأساسيتان متساويتان:

دعنا ندير عموديًا من قمة المثلث (أ) إلى قاعدة المثلث (قبل الميلاد) لنقابله عند النقطة (د) ، ونصنع مثلثين قائم الزاوية (adb) ومثلثًا (adc).

نحن نبحث عن تطابق المثلثات (ADB) و (ADC).

AB = AC (مثلث متساوي الساقين).

الزاوية (ADB) والزاوية (ADC) متساويتان في القياس (كل منهما قياس 90 درجة).

لأن الجانب (م) هو جانب مشترك.

إذا كان المثلثان متطابقين في الوتر والجانب والزاوية القائمة ، فإن قياس الزاوية (ABC) هو نفس قياس الزاوية (ABC).

2- الخاصية الثانية: نقطة بداية المثلث هي محور الضلع المقابل

هذه الخاصية لمثلث متساوي الساقين تقول:

الخط الذي يربط رأس المثلث بالجانب المقابل ، أي القاعدة ، ويشطر جانبه ، يشطر أيضًا زاوية الرأس.

دعنا نثبت أن الطول (BD) يساوي الطول (DDG) وأن الزاوية (BD) تساوي الزاوية (CAD):

نطبق هذا على المثلث متساوي الساقين المعطى في الخاصية الأولى.

نحن نبحث عن تطابق المثلثات (ABD) و (ACD).

AB = AB (معطى).

زاويتان (ADB) و (ADC) متساويتان في القياس (قياس كل منهما 90 درجة).

الضلع (ad) هو الجانب المشترك (في العمل).

تجتمع مثلثات الوتر والجانب والزاوية القائمة والنتيجة هي: الطول (BD) يساوي الطول (DD) والزاوية (BD) تساوي الزاوية (CCD).

احسب مساحة مثلث متساوي الساقين

القاعدة المستخدمة هي نصف طول قاعدة المثلث × ارتفاعه

على سبيل المثال: مثلث متساوي الساقين قاعدته 10 سم وارتفاعه 10 سم وإحدى رجليه 10 سم. ما مساحة هذا المثلث؟

إجابه:

نصف طول قاعدتها = 5 سم

الارتفاع = 10 سم

إذن مساحة المثلث هي نتيجة حساب نصف طول القاعدة × الارتفاع ، وهو ما يساوي 50 سنتيمترًا مربعًا ، ولا يؤخذ طول الساقين في الاعتبار في هذا المثلث.

قوانين ومشكلات مثلث متساوي الساقين

هناك العديد من القوانين لمثلث متساوي الساقين ، مثل حساب قاعدة المثلث وحساب طول أحد أضلاعه ، إلخ. في ما يلي ، سنقوم بإدراج هذه القوانين الموضحة بأمثلة:

1- كيفية حساب قاعدة مثلث متساوي الساقين

القانون: قاعدة المثلث = (مربع طول أحد الفروع المتساوية – مربع الارتفاع) √ × 2

يمكننا حساب قاعدة المثلث إذا عرفنا طول أحد الأضلاع المتساوية (ل) وارتفاع المثلث (ع)

s = (l²-p²) √ × 2.

2- كيفية حساب طول أحد الأضلاع المتساوية

القانون: طول ساق واحدة متساوية في المثلث = (مربع الارتفاع + تربيع نصف طول القاعدة) √

يمكننا حساب طول أحد الضلعين المتساويين (L) إذا عرفنا طول قاعدة المثلث (B) وارتفاعه (Z).

ل = (ع² + (ب / 2) ²) √

3- كيفية حساب قياس الزوايا الداخلية

بينما نتحدث عن خصائص مثلث متساوي الساقين ، يمكننا إيجاد قياس جميع زوايا مثلث متساوي الساقين عندما نعرف قياس زاوية واحدة فقط ، والمثالان التاليان يوضحان ذلك:

مثال 1: مثلث متساوي الساقين قياس زاوية الرأس 40 درجة ، فما هي قياسات الزوايا الأخرى؟ المحلول:

بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإن 180-40 = 140.

بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية ، فإن قيمة كل زاوية من زاويتين الأساسيتين هي 140/2 ، وبالتالي تكون النتيجة 70 درجة.

مثال 2: إذا كانت إحدى زوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين 45 درجة ، فما قياس الزوايا الأخرى؟

المحلول:

بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية ، فإن قياس الزاوية الأخرى يساوي أيضًا 45 درجة.

بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإن قياس زاوية الرأس هو (180-45-45) ، وبالتالي تكون النتيجة 90 درجة.

مشاكل حول خصائص مثلث متساوي الساقين

وفقًا للخصائص العديدة لمثلث متساوي الساقين ، ولتوضيح هذه الخصائص ، سنعرض لك عدة أمثلة.

المثال الأول

المثلث ABC حيث الطول AB = ABC إذا كان قياس الزاوية ABC يساوي 40 درجة ، فما هو قياس الزاوية ∠ABC؟

المحلول:

بما أن ab = ac، ∠ abc = acb؛ وفقًا لخصائص مثلث متساوي الساقين.

بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 ، فإن ∠ abc + ∠ acb + bac = 2 ∠ abc + ∠ bac = 180.

إذن 2∠ abc = 140 وبعد القسمة على 2 فإن الزاوية abc تساوي 70 درجة.

المثال الثاني

المثال الثاني لخصائص مثلث متساوي الساقين هو مثلث متساوي الساقين ABC إذا كان قياس الزاوية ABC يساوي 50 درجة ، فما احتمالات قياس الزاوية ABC؟

المحلول:

• الخيار الأول: if ∠ abc = ∠ bac؛ هذا يعني أن bc = ac ؛ من الممكن معرفة قياس الزاوية ABC مباشرةً وهو يساوي 50 درجة.
• الخيار الثاني: if ∠ abc = ∠ bca ؛ وهذا هو: أ = أب ؛ يمكن إيجاد ∠ bac كما يلي: 50 + 50 + ∠ bac = 180 درجة ، لذا ∠ bac = 80 درجة.
• الخيار الثالث: إذا ∠ bac = ∠ bca ؛ وهذا هو: bc = ab؛ إذن 50 + 2∠ bac = 180 ، لذا ∠ bac = 65 درجة.

هذا يعني أن هناك ثلاثة خيارات لقياس ∠ باك: 50 و 65 و 80 درجة.

المثال الثالث

مثلث متساوي الساقين ABC حيث يمثل الضلع DD C الخط الذي يربط بين الرأس C والقاعدة AB وفيه DD = DD C = CB ، إذا كان قياس الزاوية DA C يساوي 40 درجة ، فما هو قياس ∠ DCB؟

المحلول:

في المثلث AD C ∠ DCA = ∠ DAC = 40 ، لذلك:

• ∠ ccdb = 40 + 40 = 80 درجة لأن الزاوية ccdb هي زاوية خارجية للمثلث adc وقياس الزاوية الخارجية دائمًا يساوي مجموع الزاويتين الأبعد عنها.

في المثلث dcb ، ∠cbd = ∠cdb = 80 درجة ، لذلك:

• ∠dcb = 180 – 80 – 80 وهو ما يساوي 20 درجة.

المثال الرابع

مثلث متساوي الساقين قياس إحدى الزوايا الأساسية للمثلث هو (4x + 12) وقياس الزاوية الأخرى (5x-3) ، ما قيمة x وما قياس زوايا المثلث ؟

المحلول:

• بما أن زوايا المثلث الأساسية متساوية ، فيمكن إيجاد قيمة x على النحو التالي:

4 س + 12 = 5 س – 3

حل هذه المعادلة يعطينا x = 15.

الزاوية الأولى: (4x + 12) = (4 × 15) + 12 = 72.

بما أن زاويتا القاعدة متساويتان ، فإن قياس الزاوية الثانية يساوي أيضًا 72 درجة.

بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 ، فيمكن إيجاد زاوية رأس المثلث على النحو التالي: 180-72-72 ، والتي تساوي 36 درجة.

المثال الخامس

مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زوايا القاعدة هو 47 ، فما هو قياس زاوية القمة؟

المحلول:

• بما أن المثلث متساوي الساقين ، فإن زوايا القاعدة متساوية ، لذا فإن قياس زاوية القاعدة الثانية هو أيضًا 47 درجة.
• بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 ، فيمكن إيجاد زاوية الرأس (x) على النحو التالي: 47 + 47 + x = 180x
• = 180-47-47 = 86 درجة.

المثال السادس

مثلث متساوي الساقين زاوية قمته 116 ، ما قياس زوايا القاعدة؟

المحلول:

• نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 ، فيمكن إيجاد زاويتين أساسيتين متساويتين (ب) على النحو التالي: 116 + ب + ب = 180 درجة. 2 × ب = 64 ب = 32 درجة.

المثال السابع

مثلث متساوي الساقين له طول متساوي 19x + 3 وطول الضلع الآخر 8x + 14 ، ما قيمة x؟

المحلول:

• نظرًا لأن كلا الجانبين متساويان ، يمكن إيجاد قيمة x على النحو التالي: 19x + 3 = 8x + 14 ، ومنها: 11x = 11 ومن هذا: x = 1.

المثال الثامن

مثلث متساوي الساقين له ضلع متساوي الطول 5y – 2 والضلع الآخر 13 ، ما قيمة y؟

المحلول:

• نظرًا لأن كلا المثلثين متساويان ، يمكن إيجاد قيمة y على النحو التالي: 5y – 2 = 13 ومن ذلك: 5y = 15 ومن ذلك: y = 3.

المثال التاسع

مثلث متساوي الساقين له زوايا قاعدته 8y-16 ، والزاوية الثانية 72 ، وزاوية القمة 9s ، فما قيمة xy؟

المحلول:

• بما أن المثلث متساوي الساقين ، فإن قياسات زاويتى القاعدة متساوية ، وبالتالي يمكن إيجاد قيمة y على النحو التالي:

8 ب – 16 = 72 ومن ذلك: 8 ب = 88 ومن ذلك: ص = 11.

• نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فيمكن إيجاد حجم زاوية الرأس على النحو التالي:

180-72-72 = زاوية الرأس ، منها: زاوية الرأس = 36 = 9x ، لذا س = 4.

المثال العاشر

مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين طول ضلعه القائم الزاوية 6.5 cm ، ما هو طول الوتر؟

المحلول:

• نظرًا لأن المثلث قائم الزاوية ، فيمكن إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس على النحو التالي:
• وتر المثلث 2 = (leg1) 2 + (leg2) 2 ؛ لأن الضلع الأول والجانب الثاني (ل) وجهان للقائمة.
• الوتر² = (l² + l²) √ وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ، يكون الوتر = l × 2√ ، فيكون الوتر = 6.5 × 2√.

المثال الحادي عشر

مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية إذا كان طول الوتر 10 cm ، فما طول أضلاع القائمة المتساوية؟

المحلول:

• بما أن المثلث قائم الزاوية ، فيمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلعي الزاوية القائمة ، على النحو التالي:

الوتر 2 = (الضلع 1) 2 + (الضلع 2) 2 ، ومنه: الوتر² = (l² + l²) √ وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين نجد ما يلي:

الفرضية = طول الأضلاع المتساوية للقائمة × 2√ ومنه: 10√ = طول أضلاع القائمة المتساوية × 2√ ومنها: الضلع = 2√ / 10√ ، لذا فإن طول كل جانب من أضلاع القائمة القائمة √5 سم.

ربما ، من خلال معرفتك بخصائص مثلث متساوي الساقين وإجابتك على الأمثلة المذكورة أعلاه ، تكون قد اكتسبت معرفة كافية بالمسألة لتمكينك من الإجابة على أي شيء يتعلق بخصائص مثلث متساوي الساقين.