تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة

مفهوم الفرق بين مربعين

• قبل شرح كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بالأمثلة ، يجب أن نشرح لك أولاً ما هو مفهوم الفرق بين مربعين ، لأن مفهوم الفرق بين مربعين هو أحد المفاهيم الرياضية. التي تقع ضمن علم الجبر كمعادلة تربيعية.
• يعتبر هذا المفهوم كقانون من أشهر قوانين الرياضيات وأكثرها استخدامًا في مختلف العلوم وفي المراحل التعليمية المختلفة للطلاب.
• أول من اكتشف المعادلات التربيعية التي تشمل الفرق بين مربعين هو عالم الخوارزمي ، حيث أن الأس فيه رقم اثنين ، ويتم حل هذه المعادلات وتوجد فيها قيم المجهول. بطرق مختلفة ، أهمها طريقة التجاور بين مربعي حدين ، وهو ما يساوي ضرب فرق هذين المصطلحين في مجموعهما.
• أي أن الفرق بين مربعي المصطلحين يساوي (المصطلح الأول – المصطلح الثاني) X (المصطلح الأول + المصطلح الثاني) ، ويأتي اسم المربعين أو مربع المصطلحين من شكل المربع نفسه.
• حيث يعتبر الحد الأول هو طول ضلع المربع الأول ، والحد الثاني هو طول ضلع المربع الثاني ، والفرق بين مربعي هذين المصطلحين هو الفرق بين مساحة الشكلين المربعين في حد ذاتهما.

لك:

حلل الفرق بين مربعين في الرياضيات باستخدام الأمثلة

1- كيفية التحقق من أن التعبير الجبري هو الفرق بين مربعين

• قبل شرح طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بالأمثلة ، يجب أن نتأكد أولاً من أن هذا التعبير الجبري أو هذه المعادلة لهما الشكل العام لقانون الفرق بين مربعين وأنه يمكن استخدامه لحلها.
• يتم تأكيد ذلك من خلال النظر إلى عدة أشياء ، بما في ذلك أننا ننتبه إلى حقيقة أن هذه المعادلة تحتوي على مصطلحين جبريين فقط ولا شيء آخر.
• بالإضافة إلى التأكد من أن هذين الحدين مربعان كاملان ، وإذا لم يكن كذلك ، يجب أن نحاول إيجاد العامل المشترك بينهما إن أمكن.
• انظر إلى إشارة كل من المصطلحين ، حيث تكون إشارة المصطلح الكبير الأول موجبة وعلامة المصطلح الصغير الثاني المطروح من المصطلح الأول سالب ، بالإضافة إلى أن الأس في كلا المصطلحين موجب ويساوي الرقم اثنان أو مضاعفاتها.

2- كيفية تحليل الفرق بين مربعين

• وبعد أن تعرفنا على مفهوم الفرق بين مربعين وكيفية تحديد شكله العام ، توصلنا الآن إلى طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بأمثلة على ذلك ، والتي سنذكرها بعد قليل ، مثل: طريقة تحليلها بسيطة للغاية وغير معقدة ، ويسهل على الطلاب فهمها جيدًا من خلال الخطوات التالية.
• في البداية ، كما قلنا ، نحاول إيجاد القاسم المشترك الأكبر بين كلا الحدين ، وإذا كان هناك واحد ، فإننا نستخرجه من التعبير الجبري خارج الأقواس ، مع الانتباه إلى ضربه في جميع العوامل في نهاية عملية التحليل.
• ثم علينا إيجاد الجذور التربيعية لهذين المصطلحين ، والجذر التربيعي هو المفهوم المعاكس تمامًا لمفهوم مربع المصطلح ، لأن مربع المصطلح يعني حاصل ضرب هذا الرقم في نفسه ، بينما الجذر التربيعي يعني إيجاد الحد الذي نضربه في نفسه حتى نحصل على النتيجة.
• أي أن مربع الرقم 3 هو مجموع حاصل ضربه في حد ذاته ، لذا نحصل على الرقم 9 ونطلق عليه مربع 3. لإيجاد الجذر التربيعي للرقم 9 ، نعكس العملية ، لذا أوجد العدد الذي نضربه في نفسه حتى نصل إلى الرقم تسعة ، إذن الإجابة هي الرقم ثلاثة ونسميه الجذر التربيعي للرقم تسعة.
• بعد إجراء العمليات السابقة ، نحاول عمل الشكل العام للكمية الجبرية أو المعادلة التي نريد تحليلها من شكل الفرق بين مربعين ، والتي تكون على الشكل (x2-p2).
• ثم نفتح قوسين صغيرين ، ونكتب بين القوسين الأولين التعبير عن مجموع الجذور التربيعية للحدين أنفسهم ، أي مجموع الحدين أنفسهم ، وبين القوسين الآخرين الفرق بين الجذور التربيعية للمصطلحين أنفسهم ، مع وجود علامة حاصل الضرب بين القوسين.
• الصيغة لتحليل الفرق بين مربعين برموز هي كما يلي ، (x2 – p2) = (x – p) X (x + p) ، أما بالنسبة لصيغة التعبير الجبري ، فستكون بالشكل العام التالي: (المربع الكامل للحد الأول – المربع الكامل للحد الثاني) = (الحد الأول – الحد الثاني) مضروبًا في (الحد الأول + الحد الثاني).

3- أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين

يبحث معظم الطلاب عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة لتوضيح هذا المفهوم وترسيخ طريقة التحليل في أذهانهم ، حيث أن الأمثلة العملية تشكل الجانب العملي الذي يشرح المفاهيم النظرية ويربطها بالواقع ويدعمهم. المزيد ثم نعرض لكم أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين.

المثال الأول

• على سبيل المثال ، عندما يوزع السؤال التالي في عوامله الأولية 9 × 2-4 ، نلاحظ أن الحد الجبري الأول 9 × 2 هو مربع كامل وجذره التربيعي هو 3x ، بينما الحد الجبري الثاني 4 هو مربع كامل جذرها التربيعي هو الرقم
• لتحليل الفرق بين مربعات المصطلحين السابقين ، يتم تطبيق القانون الذي شرحناه في الخطوات السابقة ، حيث تكون نتيجة عملية التحليل (3x – 2) X (3x + 2).

المثال الثاني

• على سبيل المثال ، إذا طُلب من الطالب تحليل كثير الحدود للشكل 3×2-27 ، ففي هذه الحالة يكون الأمر مختلفًا ، حيث وجدنا أن هناك عاملًا مشتركًا أكبر بين المصطلح الأول والحد الثاني ، وهذا العامل المشترك هو الرقم ثلاثة ، لذلك نأخذ الرقم ثلاثة من الأقواس قبل إجراء التحليل.
• بعد إخراج العامل المشترك ، يصبح شكل التعبير الجبري 3 (x2_ 9) ، وبما أن الرقم 3 غير موجود ، يمكننا الآن تحليل الفرق بين المربعين لأنه تم تحويله إلى الشكل المطلوب ، و بعد التحليل ، نعيد الرقم ثلاثة خارج الأقواس لنضربه جميعًا.
• ونجد أن الحد الجبري الأول يمثل مربعًا كاملًا جذره التربيعي x ، وأن الحد الجبري الثاني يمثل مربعًا كاملًا جذره التربيعي هو الرقم 3 ، بحيث يكون تحلل كثير الحدود السابق 3 (x – 3 ) X (x + 3) ، ومن المعروف أننا عندما لا نضع أي إشارة بين الرقم والأقواس التي تليها ، فإن العملية تعني الضرب.

المثال الثالث

• عندما يبحث تلاميذ المدارس عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات باستخدام أمثلة ، فإنهم غالبًا ما يبحثون عن حل للتمارين الصعبة أو المختلفة نوعًا ما ، على سبيل المثال عندما يكون التعبير الجبري بالصيغة _4 + x2 ، نلاحظ أن شكل هذه الكمية ليس الشكل العام للفرق بين مربعين.
• في هذه الحالة ، قد يكون من الصعب على الطالب التحليل ، لذلك سنوضح لك كيفية القيام بذلك بسهولة. في هذا المثال ، نقوم بالتبديل بين أماكن هذين المصطلحين بحيث تكون الكمية على شكل x2-4 ، وبالتالي تصبح الصيغة التقليدية التي يمكننا تطبيق قانون تحليل الفرق بين مربعين.
• إذن ، الحد الأول هو x2 وجذره x ، والحد الثاني هو 4 وجذره هو الرقم 2 ، وبالتالي تصبح نتيجة التحليل (x – 2) X (x + 2).

ننصحك بزيارة مقال: