ابحث عن الأعداد المركبة
الأعداد المركبة معقدة نوعًا ما لأنها تتكون من نوعين من الأرقام ، وهما أرقام حقيقية وأرقام تخيلية ، لذا فإن الأرقام التخيلية هي تلك التي تعطي نتيجة سلبية عند تربيعها ، والأرقام الحقيقية هي تلك التي تعطي نتيجة إيجابية عند تربيعها ، على سبيل المثال لأن -2 * -2 = 4.
تتضمن الأرقام التخيلية جميع الأرقام ما عدا i الذي يساوي الجذر التربيعي لـ -1
(-1) = أمثلة الأعداد التخيلية هي (3i) ، (1.04i) ونلاحظ أن أي جزء من الأعداد المركبة يساوي صفرًا في الجزء التخيلي والأرقام التخيلية عبارة عن أرقام معقدة يكون الجزء الحقيقي فيها صفرًا ، على سبيل المثال :
رقم مركب جزء يمثل عددًا حقيقيًا جزء يمثل عددًا وهميًا النوع 2i + 3 3 2i عدد مركب يتكون من جزأين ، حقيقي وخيالي. 5 5 0 هو عدد مركب مع جزء حقيقي فقط. 6i 0 6 عدد مركب له جزء تخيلي فقط
عناصر
- مقدمة
- خصائص الأعداد المركبة.
- العمليات الحسابية ذات الأعداد المركبة.
- تمثيل الأعداد المركبة بيانياً.
- أمثلة مختلفة عن الأعداد المركبة.
- وجود الأعداد المركبة في الواقع.
- استنتاج
مقدمة في الأعداد المركبة
قام علماء الرياضيات بتقسيم الأعداد إلى أنواع مختلفة مثل: الأعداد المنطقية والكاملة والطبيعية والمركبة ، لكن الأعداد المركبة هي الأكثر تعقيدًا بين الأعداد ، لذلك لا يفهمها الطلاب بعد ، نظرًا لطبيعة اسم الأعداد التخيلية التي تخلق حاجزاً بين قبول الطالب للمادة ، حيث تعتبر للظاهرة بدون سبب.
أظهرت الإحصائيات أن هناك 85٪ من الناس لا يقبلون هذه الأرقام بسبب طبيعة أسمائهم ، وإذا نظرنا عن كثب ، سنجد أن الإغريق القدماء أطلقوا عليها أرقامًا غير منطقية ، وبمرور الوقت تطوروا إلى اسم الأعداد المركبة ، وسيعرض الجدول التالي أمثلة للأرقام المركبة وشكلها القياسي:
الرقم المركب النموذج القياسي (a + bi) الجزء الذي يمثل الرقم الحقيقي والجزء الذي يمثل الرقم التخيلي 7i + (-2) 7i + (- 2) الرقم الحقيقي هو -2 والرقم التخيلي هو 7 i (3) )) – 4 i (- 3) + 4 عدد حقيقي يساوي 4 والعدد التخيلي يساوي -3 9i 9i + 0 عدد حقيقي يساوي صفرًا والعدد التخيلي يساوي 9-2 0i + -2 رقم حقيقي يساوي -2 والعدد التخيلي يساوي حتى 0
خصائص الأعداد المركبة
تستخدم الأعداد المركبة في العديد من تطبيقات الحياة العملية. يتم استخدامها في الهندسة الكهربائية وميكانيكا الكم. كما أنها تساعد في حل أي معادلة متعددة الحدود من أي نوع. على سبيل المثال ، x²-2x + 5 = 0 ليس لها حل لأن المعامل سالب ، لكن هناك حل لذلك. في الأعداد المركبة ، وهي: 2i-1 و 2i + 1 ، خصائص هذه الأرقام هي:
- جميع الأعداد الزوجية الأكبر من 2 هي أعداد مركبة.
- يمكن كتابة الأعداد المركبة وتحويلها إلى أعداد أولية.
- أصغر عدد مركب هو 4.
- أنا =.
العمليات الحسابية ذات الأعداد المركبة
هناك العديد من العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها على الأعداد المركبة وهي:
جمع الأعداد المركبة
عند إضافة أرقام معقدة ، يجب عليك أولاً إضافة رقمين تخيليين ووضع النتيجة ، ثم إضافة رقمين حقيقيين ووضع النتيجة بجوار المنتج الأول ، على سبيل المثال:
إضافة عددين مركبين (4 + 3i) ورقم مركب (2 + 2i) هي كما يلي:
(4 + 2) + (3i + 2i) i (2 + 3) + (6) = هذا يساوي 5i + 6
اضرب الأعداد المركبة
تشبه عملية ضرب الأعداد المركبة عملية ضرب اقتران متعدد الحدود. عندما يتم ضرب رقم وهمي في رقم وهمي ، تكون النتيجة رقمًا حقيقيًا. لذلك ، يكون حاصل ضرب (أ + ب) * (ج + د) كما يلي:
الفأس (c + di) + bx (c + d (i) =) axc) + (axd) xi + (bxc) xi + (bxd) x i² =
(axc) + ((axd) + (bxc)) i + (bxd) x (-1) لذا فإن المنتج (a + bi) * (c + di) يساوي (a * c – b * d) + (a * د + ب * ج) * ط
مثال: ما هو حاصل ضرب (2i – 4) * (2i + 3)
باستخدام القانون أعلاه واستبدال الأرقام a و b و cad ثم a = 3 و b = 2 و c = 4 و d = -2
لذلك نجد أن (4 * 3) – (2 * -2) + (-2 * 3) + i (4 * 2) ستكون النتيجة 2i + 6
قسمة الأعداد المركبة
لقسمة الأعداد المركبة ، يجب أن يكون الرقم المصاحب للرقم المركب معروفًا ، ويتم تعريفه على أنه نفس العدد المركب ولكن مع الإشارة المعاكسة في المنتصف ، على سبيل المثال ، إذا كان الرقم المصاحب للرقم (a + bi) هو (a – bi) ، مما يعني أن الجزء من الرقم الحقيقي يظل كما هو بالنسبة للجزء التخيلي من الرقم ، يتم تغيير علامته ويتم عادةً وضع علامة (-) فوق الرقم المصاحب لتمييزه عن الرقم المركب. .
يمكن أن تستخدم القيمة العددية المرافق المركب عن طريق كتابة عددين مركبين ليقسم كل منهما على الآخر ، مع كسر بينهما ، ثم ضرب البسط والمقام في الرقم المقابل للمقام ، مثل:
ما هو حاصل ضرب 2 + 3i مقابل 4-i5؟
يضرب البسط والمقام في (5i + 4) ويجمع الحدود بحيث تكون نتيجة القسمة (-7 + 22i) / 41
تمثيل الأعداد المركبة بيانياً
يمكن تمثيله بيانياً من خلال رسمه على مستوى إحداثيات الرسم البياني مع محوري x و y ، بحيث يظهر الجزء التخيلي على المحور y (المحور الرأسي) والجزء الحقيقي على المحور x (المحور الأفقي) ، وبالتالي إنشاء مجموعة من النقاط ، كل نقطة تمثل رقمًا.
أمثلة مختلفة عن الأعداد المركبة
المثال الأول: ما هو الرقم الحقيقي والتخيلي في العدد المركب التالي: i19-14
الرقم التخيلي: -19
العدد الفعلي هو: 14
مثال 2: ما هو حاصل ضرب 3i * 4i؟
لأنها تساوي -1 واستبدال قيمتها في المثال يساوي 12 = -12
المثال الثالث: ما هو الرقم المصاحب للأرقام التالية:
(a2 + 5√ib) 1 / 2i
يمكن الحصول على الرقم المصاحب عن طريق ترك الرقم الحقيقي كما هو وعكس علامة الرقم التخيلي بحيث تكون النتيجة: أ) 2-5√i
ب) 1/2 ط.
المثال الرابع: مجموع ما يلي: (3 + 2i) و (1 + 7i)؟
اجمع الأعداد الحقيقية والأرقام التخيلية معًا وستكون النتيجة (3 + 1) + (2 + 7) أنا
يساوي 4 + 9 ط.
المثال الخامس: إذا كانت x = 1 + 2i ، فما قيمة x3 + 2x² + 4x + 25؟
x3 = 3 (1 + 2i) يساوي -11-2i و 2x² = 2 × ² (1 + 2i) j = 2 × (-3 + 4i) = -6 + 8i
و 4 ث = 4x (1 + 2i) = 4 + 8i.
ستؤدي إضافة ما سبق إلى: i14 + 12 = 25 + (4 + 8i) + (-6 + 8i) + (2i- 11-)
المثال السادس: ما هو حاصل ضرب العدد المركب التالي: i + i² + i3 + i4؟
i² = -1 ، i4 = +1 و i3 = i– بالتعويض في المشكلة نحصل على i-1-i + 1 = 0.
وجود الأعداد المركبة في الواقع
على الرغم من تعقيد الأعداد المركبة ، إلا أنها تُستخدم بالفعل في مجالات مختلفة ويتم تمثيلها في:
- نستخدم الكهرباء من خلال الأعداد المركبة ، وهو أمر مهم جدًا في الميكانيكا والفيزياء وكل علم يجعل شيئًا مفيدًا للناس المخترعين.
- تمتلك الأعداد المركبة القدرة على الوصول بشكل صحيح إلى النتيجة النهائية لعالم الرياضيات والفيزياء والميكانيكا والديناميكيات. على سبيل المثال: إذا كنت تكتب بحثًا عن الأعداد المركبة وتريد تقريبها بسهولة للطالب ، فيمكنك إعطاء مثال من الواقع ، والذي يتمثل بالقول: “إذا كنت في متحف شمع ورأيت تمثالًا رجل بأفعال عظيمة ومدروسة بعناية ، ستجده إنسانًا حقيقيًا.
لكن الإنسان لم يكن مصنوعًا من الشمع ، بل كان الشمع وسيلة لتجسيد الإنسان على شكل تمثال ، لأنه متماثل في الأعداد المركبة بالنسبة لأي علم يدخل فيه ، فلا يمكن أن يحقق أفضل النتائج دون استعماله. هذه الارقام.
مقال الخلاصة بالأرقام المركبة
لقد عرفنا أهمية الأعداد المركبة فيما يتعلق بالحياة الواقعية والعلوم المختلفة ، لكن الإنسان لا يتوقف أبدًا عن اكتشاف هذه الأعداد المركبة ، لذا فإن الأعداد المركبة تخضع لجميع العمليات الحسابية وتساعد في إيجاد حلول للوظائف التي لا تستطيع الأعداد الحقيقية القيام بها. العثور على الحل من خلال تفصيل البحث عن الأعداد المركبة ونقل النقاط البارزة المتعلقة بهذه الأرقام ، لقد حاولنا تبسيط الأمور قدر الإمكان.
الأرقام والأرقام هي عالم واسع لم يتمكن الإنسان بعد من إكماله واليوم قدمنا بحثًا عن الأعداد المركبة وتعلمنا ماهية هذه الأرقام وما تتكون منها وما هي طريقة حلها باستخدام العمليات الحسابية المختلفة والمعقدة لقد خدمت الأرقام العديد من العلوم ، بما في ذلك الفيزياء والرياضيات ، مما أدى إلى اختراع أشياء كثيرة مفيدة للبشرية.