الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية

الجبر الخطي

الجبر الخطي هو فرع الرياضيات المعني بالمعادلات الخطية مثل:

a1x1 +… + wxn = ب

مخططات خطية مثل:

x1، …، xn) a1x1 +… + القلق)

وتمثيلاتها في الفراغات المتجهية ومن خلال المصفوفات.

الجبر الخطي أساسي لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا ، على سبيل المثال ، الجبر الخطي أساسي لعروض الهندسة الحديثة.

بما في ذلك تحديد الكائنات الأساسية مثل الخطوط والطائرات والدوران ، يمكن أيضًا النظر في التحليل الوظيفي.

إنه فرع من التحليل الرياضي ، يطبق أساسًا الجبر الخطي على فراغات الوظائف.

يستخدم الجبر الخطي أيضًا في معظم مجالات العلوم والهندسة ، لأنه يمكنه نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية ، ويمكنك استخدام هذه النماذج لإجراء عمليات حسابية فعالة.

بالنسبة للأنظمة غير الخطية التي لا يمكن نمذجتها بواسطة الجبر الخطي ، يتم استخدامها بشكل عام للتعامل مع التقديرات التقريبية من الدرجة الأولى.

لأن تمايز دالة متعددة المتغيرات في نقطة ما هو أفضل تعيين خطي.

تاريخ موجز للجبر الخطي.

يظهر إجراء حل المعادلات الخطية المتزامنة التي تسمى الآن القطع الغاوسي في النص الرياضي الصيني القديم الفصل الثامن.

المصفوفات المستطيلة للفصول التسعة من الفن الرياضي ، موضحة في ثمانية عشر مشكلة ، مع معادلات من اثنين إلى خمسة.

نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع إدخال الإحداثيات في الهندسة في عام 1637 بعد الميلاد بواسطة رينيه ديكارت.

في الواقع ، في هذه الهندسة الجديدة ، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية ، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بواسطة المعادلات الخطية ، ويعادل حساب التقاطعات حل أنظمة المعادلات الخطية.

استخدمت الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الخطية المحددات ، والتي درسها لايبنيز لأول مرة في عام 1693 م.

في عام 1750 بعد الميلاد ، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول واضحة للأنظمة الخطية ، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر.

وصف جاوس في وقت لاحق طريقة الإزالة ، والتي تم وصفها في البداية على أنها تقدم في الجيوديسيا.

في عام 1844 ، نشر هيرمان جراسمان كتابه “نظرية الامتداد” ، والذي تضمن موضوعات أساسية جديدة لما يسمى الآن بالجبر الخطي.

في عام 1848 م ، قدم جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة ، وهي لاتينية تعني الرحم.

علاقة الجبر الخطي بالهندسة

هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي والهندسة ، والتي بدأت بإدخال الإحداثيات الديكارتية بواسطة رينيه ديكارت عام 1637 م.

وفي هذا (في ذلك الوقت) الهندسة الجديدة ، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية ، يتم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية.

إنها متواليات من ثلاثة أرقام حقيقية (في حالة الفضاء ثلاثي الأبعاد المعتاد).

يتم أيضًا تمثيل الكائنات الأساسية للهندسة والخطوط والمستويات بواسطة المعادلات الخطية.

وبالتالي ، فإن حساب تقاطعات الخطوط والمستويات يعادل حل أنظمة المعادلات الخطية ، وكان هذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.

معظم التحولات الهندسية ، مثل الترجمات والدورات والانعكاسات والحركات الجامدة والتساوي القياس والإسقاطات ، تحول الخطوط إلى خطوط.

ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتعريفها ودراستها من حيث الخرائط الخطية ، كما هو الحال أيضًا مع التجانس وتحولات موبيوس ، عند اعتبارها تحولات لمساحة إسقاطية.

حتى أواخر القرن التاسع عشر ، كانت المسافات الهندسية تُحدد بواسطة البديهيات المتعلقة بالنقاط والخطوط والطائرات (الهندسة التركيبية).

في هذا التاريخ تقريبًا ، ظهر أنه يمكن أيضًا تحديد الفراغات الهندسية من خلال الإنشاءات التي تتضمن فراغات متجهة.

(انظر ، على سبيل المثال ، الفضاء الإسقاطي والفضاء الأفيني.) وقد ثبت أن الطريقتين متكافئتان بشكل أساسي.

في الهندسة الكلاسيكية ، تكون المساحات المتجهية المتضمنة مسافات فائقة الدقة ، ولكن يمكن تمديد الإنشاءات إلى مسافات فائقة الدقة.

مما يسمح بالنظر إلى الهندسة على المجالات التعسفية ، بما في ذلك الحقول المحدودة.

يقدم هذا القسم أيضًا العديد من الموضوعات ذات الصلة التي لا تظهر عادةً في كتب الجبر الخطي الابتدائية.

لكنها تعتبر بشكل عام ، في الرياضيات المتقدمة ، كأجزاء من الجبر الخطي ، ومن الأمثلة على ذلك ما يلي:

• نظرية الوحدة
• الجبر متعدد الخطوط وموترات
• مساحات ناقلات طوبولوجية
• الجبر المتماثل

استخدامات وتطبيقات الجبر الخطي.

يُستخدم الجبر الخطي في جميع مجالات الرياضيات تقريبًا ، مما يجعله وثيق الصلة بجميع المجالات العلمية التي تستخدم الرياضيات تقريبًا. يمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات عامة.

هندسة فضاء المحيطات

تعتمد نمذجة الفضاء المحيط على الهندسة ، والعلوم المشاركة في هندسة الفضاء تستخدم على نطاق واسع.

هذه هي حالة الميكانيكا والروبوتات لوصف ديناميكيات الجسم الصلب ، والجيوديسيا لوصف شكل الأرض.

المنظور ورؤية الكمبيوتر والرسومات الحاسوبية لوصف العلاقة بين المشهد وتمثيله المسطح والعديد من المجالات العلمية الأخرى.

في جميع هذه التطبيقات ، غالبًا ما تُستخدم الهندسة التركيبية للأوصاف العامة والأساليب النوعية ، ولكن لدراسة المواقف الواضحة.

على المرء أن يحسب باستخدام الإحداثيات ، وهذا يتطلب استخدامًا مكثفًا للجبر الخطي.

نختار لك:

تحليل العمل

دراسات تحليل الوظائف الشاغرة ؛ هذه مساحات متجهة ، مع بنية إضافية مثل مساحات هيلبرت.

وبالتالي ، يعد الجبر الخطي جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي وتطبيقاته ، والتي تشمل بشكل خاص ميكانيكا الكم (وظائف الموجة).

دراسة الأنظمة المعقدة

يتم نمذجة معظم الظواهر الفيزيائية عن طريق المعادلات التفاضلية الجزئية ، ولحلها عادة ما يتم تحليل المنطقة.

حيث يتم البحث عن حلول للخلايا الصغيرة التي تتفاعل مع بعضها البعض ، وبالنسبة للأنظمة الخطية ، يتضمن هذا التفاعل وظائف خطية.

بالنسبة للأنظمة غير الخطية ، غالبًا ما يتم تقريب هذا التفاعل بوظائف خطية.

عادةً ما يتم تضمين مصفوفات كبيرة جدًا ، مع التنبؤ بالطقس كمثال نموذجي.

ينقسم الغلاف الجوي للأرض بأكمله إلى خلايا بعرض 100 كيلومتر وارتفاع 100 متر ، على سبيل المثال.

الحساب العلمي

تتضمن جميع الحسابات العلمية تقريبًا الجبر الخطي. لذلك ، تم تحسين خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير ، مع اعتبار BLAS و LAPACK أفضل التطبيقات المعروفة.

لتحسين الكفاءة ، يقوم بعضهم تلقائيًا بتكوين الخوارزميات ، في وقت التشغيل ، لتكييفها مع خصائص الكمبيوتر (حجم ذاكرة التخزين المؤقت ، عدد النوى المتاحة ، …).

تم تصميم بعض المعالجات ، عادةً وحدات معالجة الرسومات ، ببنية مصفوفة لتحسين عمليات الجبر الخطي.

تطبيق الجبر الخطي في علم الاقتصاد

للجبر الخطي مجموعة متنوعة من التطبيقات ؛ لاحظ أن بعض النماذج الاقتصادية تستخدم المعادلات التفاضلية والفرق للتنبؤ بمستويات السوق أو لتحسين الربح.

لذلك ، الجبر الخطي متورط في حل هذه المعادلات ، أو حتى في اكتساب الشروط لحل مثل هذه المشاكل.

تعتمد معظم النظرية الرياضية الخطية على الجبر الخطي ، لذلك لا توجد طريقة للهروب منها.

ونظرًا لأننا نميل إلى ذكر المشكلات خطيًا كلما أمكن ذلك (حيث يسهل حلها) ، فإننا نستخدم الجبر الخطي في علم الاقتصاد.

يمكن تقريب العديد من العلاقات الاقتصادية بواسطة المعادلات الخطية ، ويمكن تحويل العلاقات الأخرى إلى علاقات خطية.

لذلك ، فإن تحليل العديد من النماذج الاقتصادية يقلل من دراسة أنظمة المعادلات الخطية والعلاقة بين الجبر الخطي والاقتصاد.

أفضل مثال على تطبيقات الجبر الخطي في الاقتصاد هو: نموذج المدخلات والمخرجات الخاص بـ Leontiff ، وهو نموذج يوضح الترابط بين مختلف فروع الاقتصاد.

طوره Wassily Leontief ، قسم الاقتصاد إلى قطاعات مختلفة مثل: صناعة الفحم ، الصناعة الزراعية ، الصناعة التحويلية ، إلخ.

لقد استخدمت أيضًا المعادلة الخطية لكل قطاع وكتبت معادلة خطية تصف كيفية توزيع القطاع الناتج على القطاعات الأخرى.

قد يثير اهتمامك: