أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات

الأولويات الحسابية

يبدو أن الإجابة تعتمد على الطريقة التي تنظر بها إلى المشكلة ، لكن لا يمكننا أن نمتلك هذا النوع من المرونة في الرياضيات.

لن تعمل الرياضيات إذا لم تكن متأكدًا من الإجابة أو إذا كان بالإمكان حساب نفس التعبير بالضبط.

لذلك ، يمكنك الوصول إلى إجابتين مختلفتين أو أكثر طالما أنهما متفقان على النتيجة.

للقضاء على هذا الالتباس ، لدينا بعض قواعد الأسبقية ، والتي تم وضعها منذ القرن السادس عشر على الأقل.

ترتيب هذه العمليات على النحو التالي: “الأقواس ، الأس ، الضرب والقسمة ، الجمع والطرح”.

يمكن وصف ذلك من خلال: الأقواس تفوق الأسس ، التي تتفوق على الضرب والقسمة (لكن الضرب والقسمة بنفس الترتيب).

وللضرب والقسمة الأسبقية على الجمع والطرح (كلاهما في الترتيب الأدنى) ، بمعنى آخر ، الأولوية هي:

• الأقواس (بسّط الأرقام الموجودة داخل الأقواس).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار عندما تكون الأرقام عربية ومن اليسار إلى اليمين عندما تكون الأرقام بالإنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار عندما تكون الأرقام عربية ومن اليسار إلى اليمين عندما تكون الأرقام بالإنجليزية).

اتبع أيضًا:

اتجاه حل المشكلة

عندما يكون لديك مجموعة من العمليات بنفس الترتيب ، فإنك تعمل من اليسار إلى اليمين.

على سبيل المثال ، “15 ÷ 3 × 4” ليس “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4” ، ولكن “15 ÷ (3 × 4) = 15 12”.

لأنه من اليسار إلى اليمين ، ستجد أن الانقسام حدث أولاً.

إذا لم تكن متأكدًا ، فجربها على الآلة الحاسبة الخاصة بك ، والتي تمت برمجتها باستخدام تسلسل هرمي للعمليات.

على سبيل المثال ، عندما تكتب التعبير أعلاه في آلة حاسبة بيانية ، ستحصل على:

20 = 15 3 × 4

الخيار الثاني (الذي تبلغ قيمته 10) هو الإجابة الصحيحة ، لأنه يتعين علينا القيام بالضرب قبل القيام بعملية الجمع.

السبب في ترتيب العمليات الحسابية.

تم توحيد ترتيب العمليات لتجنب مشاكل الاتصال ، ولكن يمكن أن يتسبب نظام PEMDAS في حدوث ارتباك خاص به.

يميل الطلاب أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات في نفس “المستوى” (الانتقال فقط من اليسار إلى اليمين) ، ولكن غالبًا لا تكون هذه العمليات “متساوية”.

غالبًا ما يساعد في حل المشكلات من الداخل إلى الخارج ، بدلاً من حل المشكلات من اليسار إلى اليمين.

لأنه غالبًا ما تكون بعض أجزاء التمرين “أعمق” من غيرها ، وأفضل طريقة لشرح ذلك هي من خلال بعض الأمثلة:

• بسّط التعبير: 32 + 4

الحل: في هذا المثال ، نحتاج إلى تبسيط المصطلح ، جنبًا إلى جنب مع الأس ، قبل محاولة إضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4 ، إذن قيمة التعبير المبسط هي 13

مثال

• بسّط التعبير: 2 (1 + 2) + 4

الحل: في هذا المثال ، يجب علينا أولًا تبسيط الأعداد الموجودة داخل الأقواس ، قبل أن نتمكن من تجاوز الأس.

وعندها فقط يمكننا إضافة 4 بعد ذلك ، والتي يمكن وصفها على النحو التالي:

13 = 9 + 4 = 2 (3) + 4 = 2 (1 + 2) + 4 ، إذن قيمة التعبير المبسط هي 13

مثال آخر

• بسّط التعبير: 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

يجب ألا تحاول عمل هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين ، لأن هذه الطريقة عرضة للأخطاء فقط.

بدلًا من ذلك ، سنحاول العمل من الداخل إلى الخارج ، أولًا ، سنبسط الأعداد الموجودة داخل الأقواس.

ثم سنبسط ما بداخل الأقواس ، وعندها فقط سنتعامل مع التربيع.

بعد ذلك ، يمكننا أخيرًا إضافة الرقم 4 ، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

لا توجد أهمية خاصة في استخدام الأقواس المربعة (“[” و “]أعلاه) ، بدلاً من الأقواس.

عندما تكون الأقواس متداخلة ، يتم استخدام الأقواس (الأحرف “{” و “}”) للمساعدة في تتبع الأقواس المستخدمة مع الأقواس.

يتم أيضًا استخدام العديد من الأحرف المضافة للراحة ، وهذا مشابه لما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة باستخدام الأقواس:

يتم ترميز كل مجموعة من الأقواس بالألوان ، لذا يمكنك معرفة الأزواج:

مقالة – سلعة

• بسّط التعبير: (4/3 + 2 / 3-) 4

الحل: سنقوم أولاً بتبسيط الأرقام داخل الأقواس ، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

(4/3 + 2 / 3-) 4

أيضا (3/4 + 2-) 4 =

أيضًا (3/2) = 4

3/8 =

إذن ، قيمة التعبير المبسط هي 3/8

مشاكل التبسيط

تنشأ معظم مشاكل التبسيط باستخدام ترتيب العمليات من الأقواس المتداخلة والأسس وعلامات الطرح.

لذلك ، في الأمثلة التالية ، سنشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• بسّط التعبير: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3. 4

الحل: سنبسط التعبير من الداخل إلى الخارج: أولاً الأقواس ، ثم الأقواس ، مع الحرص على تذكر أن علامة الطرح 3 أمام الأقواس تقابل 3.

وذلك بمجرد أن ننتهي من تجميع الأجزاء معًا ، سنقوم بالقسمة ، متبوعة بجمع الرقم 4 ، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3. 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3-4 =

زائد 2 ÷ [6 – 4] 3-4 =

بينما 2 ÷ [2-] 3-4 =

أيضًا ، 2 6 + 4 =

في النهاية يساوي 3 + 4 =

7 =

إذن ، فإن قيمة التعبير المبسط هي 7

مثال آخر

• بسّط التعبير: 5 ÷ 2 (3-8) 3 – 16

الحل: يجب أن تتذكر أنه يجب تبسيط داخل الأقواس قبل أن تتمكن من إجراء عملية التربيع.

نظرًا لأن 2 (3-8) يختلف عن 32-82 ، يمكن وصف ذلك على النحو التالي:

5 ÷ 2 (3-8) 3-16

وهي تساوي أيضًا 5 2 (5) 3-16 =

5 ÷ (25) 3-16 =

بينما 5 75-16 =

ونصل إلى 15-16 =

1 =

نختار لك:

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا تعرفت على المتغيرات والجمع بين المصطلحات ، فقد ترى أيضًا تمارين مثل هذه:

• تبسيط التعبير: [(14x + 5 [6 – (2x + 3

الحل: إذا واجهت مشكلة في أخذ عملية طرح من خلال قوسين، فيمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3 =

[14x + 5[6 – 2x – 3 =

بينما يكون [14x + 5[3 – 2x =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

مثال

• بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

الحل: يجب أن تتذكر التبسيط في كل خطوة ، وكذلك الجمع بين المصطلحات المتشابهة متى وأين يمكنك:

{2x- [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x-1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

بينما {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

أيضًا عندما تكون {2x + 6x – 3x + 1} – =

حيث {5x + 1} تساوي – =